Sendo
(
real), considere
dada por:
se
para algum
, e
nos demais pontos. Verifique se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira, marcando sua resposta com V ou F :
( ) A função
acima é diferenciável em
se e somente se tivermos
.
( ) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função $ f $ é diferenciável no ponto
se e somente se o parâmetro
. Isso está relacionado ao conteúdo de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto de
e ver quais condições sobre
garantem essa diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a função $ f $ está definida. Ela é dada por:
Isso significa que $ f $ é zero em praticamente todos os pontos, exceto nos que estão na curva $ y = x^{3} $ com $ x > 0 $, onde ela segue a expressão $ t^{\alpha} \log t $.
Passo 3
Para a função ser diferenciável em
, ela precisa ser continua nesse ponto e ter derivadas parciais que se comportem bem lá. Vamos começar verificando a continuidade.
Passo 4
A continuidade em
significa que o limite de $ f(x,y) $ quando $(x,y) $ se aproxima de
deve ser igual a $ f(0,0) = 0 $. Vamos analisar o limite ao longo da curva $ y = x^{3} $:
Sabemos que $\log t $ tende a
quando $ t \to 0^+ $, mas se
, o termo $ t^{\alpha} $ tende a zero mais rápido que $\log t $ tende a
, fazendo com que o produto vá para zero.
Passo 5
Agora, vamos verificar as derivadas parciais em
. As derivadas parciais são os limites:
Ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.
Passo 6
Agora, para $ f $ ser diferenciável em
, precisamos que o limite:
No nosso caso, isso se simplifica para:
Vamos analisar esse limite ao longo da curva $ y = x^{3} $:
Para que esse limite seja zero, precisamos que $ t^{\alpha - 1} \log t \to 0 $ quando $ t \to 0^+ $. Isso acontece se
, ou seja,
.
Resposta
V. A afirmação é verdadeira.