Sendo alpha>0 ( alpha real), considere f: R^2 R dada por: f(x, y)=t^alpha log t se (x, y)=(t, t^3) para algum t>0, e f(x, y)=0 nos demais pontos. Verifique se a seguinte afirmação é falsa ou verdadeira, marcando sua resposta com V ou F :
( ) A função f acima é diferenciável em (0,0) se e somente se tivermos alpha>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função $ f $ é diferenciável no ponto f se e somente se o parâmetro (0,0). Isso está relacionado ao conteúdo de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto de alpha > 1 e ver quais condições sobre (0,0) garantem essa diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como a função $ f $ está definida. Ela é dada por:
f
Isso significa que $ f $ é zero em praticamente todos os pontos, exceto nos que estão na curva $ y = x^{3} $ com $ x > 0 $, onde ela segue a expressão $ t^{\alpha} \log t $.

Passo 3

Para a função ser diferenciável em (0,0), ela precisa ser continua nesse ponto e ter derivadas parciais que se comportem bem lá. Vamos começar verificando a continuidade.

Passo 4

A continuidade em (0,0) significa que o limite de $ f(x,y) $ quando $(x,y) $ se aproxima de f(x,y) deve ser igual a $ f(0,0) = 0 $. Vamos analisar o limite ao longo da curva $ y = x^{3} $:
(x,y)
Sabemos que $\log t $ tende a (0,0) quando $ t \to 0^+ $, mas se f(0,0) = 0 , o termo $ t^{\alpha} $ tende a zero mais rápido que $\log t $ tende a y = x^3 , fazendo com que o produto vá para zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas parciais em (0,0). As derivadas parciais são os limites:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0
Ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.

Passo 6

Agora, para $ f $ ser diferenciável em f , precisamos que o limite:
(0,0)
No nosso caso, isso se simplifica para:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0
Vamos analisar esse limite ao longo da curva $ y = x^{3} $:
lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 = 0
Para que esse limite seja zero, precisamos que $ t^{\alpha - 1} \log t \to 0 $ quando $ t \to 0^+ $. Isso acontece se y = x^3 , ou seja, f(t, t^3)raizt^2 + t^6 = t^alpha log tt raiz1 + t^4 = t^alpha - 1 log t .

Resposta

V. A afirmação é verdadeira.

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