Para cada uma das funções f e g abaixo, encontre o domínio e determine as expressão de f circ g, f circ f, g circ f e g circ g:
f(x)=tan (x) e g(x)=2 x-|x-1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio das funções e . Depois, precisamos determinar as composições , , e . Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como fazer a composição de funções. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de Df = x in R ,|, x neq pi2 + kpi, , k in Z . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função tangente é definida como . Ela está indefinida quando , ou seja, quando , onde é qualquer inteiro. Então, o domínio de é todos os reais exceto esses pontos.
Domínio de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o domínio de Dg = R . A função valor absoluto, , está definida para todos os reais, então não há restrições aqui. Portanto, o domínio de é todo o conjunto dos números reais.
Domínio de :

Passo 4

Vamos agora determinar g(x) = 2x - |x - 1| , que significa f(g(x)) = tan(2x - |x - 1|) . Isso quer dizer que vamos substituir f circ g (x) = tan(2x - |x - 1|) na função .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na :
Expressão de :

Passo 5

Vamos encontrar f(x) = tan(x) , ou seja, f(f(x)) = tan(tan(x)) . Vamos substituir f circ f (x) = tan(tan(x)) dentro de .
Primeiro, temos:
Então,
Expressão de :

Passo 6

Agora, vamos determinar g(f(x)) = 2tan(x) - |tan(x) - 1| , que é g circ f (x) = 2tan(x) - |tan(x) - 1| . Isso significa que vamos substituir na função .
Primeiro, . Substituímos na :
Expressão de :

Passo 7

Por fim, vamos encontrar g(x) = 2x - |x - 1| , ou seja, g(g(x)) = 2(2x - |x - 1|) - |(2x - |x - 1|) - 1| . Vamos substituir g(g(x)) = 4x - 2|x - 1| - |2x - |x - 1| - 1| dentro de g circ g (x) = 4x - 2|x - 1| - |2x - |x - 1| - 1| .
Primeiro, temos:
Então,
Expressão de :

Resposta

Resumindo:
  • Domínio de :
  • Domínio de :
As composições são:

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