Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa encontrar a representação em série de potências da função
e descobrir o intervalo de convergência. Vamos usar as séries de Maclaurin para
e
.
Passo 2
Começamos lembrando das expansões em série de Maclaurin (para
):
Passo 3
Substituímos
na primeira e
na segunda para obter:
Passo 4
Como
, fazemos a subtração das séries:
Observe que para
par a soma
, e para
ímpar
.
Passo 5
Isto elimina os termos de potência par e dobra os ímpares, levando a:
Passo 6
Para o raio de convergência usamos o mesmo raio das séries de
, que é
. Logo a série converge para
. Nos pontos
a série diverge.
Resposta
A representação em série de potências de
é:
O intervalo de convergência é
.