Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
f(x)=ln 1+x1-x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa encontrar a representação em série de potências da função f(x)=ln1+x1-x e descobrir o intervalo de convergência. Vamos usar as séries de Maclaurin para ln(1+u) e ln(1-u).

Passo 2

Começamos lembrando das expansões em série de Maclaurin (para lvert urvert<1):
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn
ln(1-u)=-sumn=1^inftyu^nn .

Passo 3

Substituímos u=x na primeira e u=x na segunda para obter:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^nn,
ln(1-x)=-sumn=1^inftyx^nn

Passo 4

Como ln1+x1-x=ln(1+x)-ln(1-x), fazemos a subtração das séries:
ln1+x1-x =sumn=1^inftyl((-1)^n+1+1r)x^nn
Observe que para n par a soma (-1)^n+1+1=0, e para n ímpar (-1)^n+1+1=2.

Passo 5

Isto elimina os termos de potência par e dobra os ímpares, levando a:
ln1+x1-x=2sumk=0^inftyx^2k+12k+1

Passo 6

Para o raio de convergência usamos o mesmo raio das séries de ln(1pm x), que é R=1. Logo a série converge para lvert xrvert<1. Nos pontos x=pm1 a série diverge.

Resposta

A representação em série de potências de lntfrac1+x1-x é:
ln1+x1-x=2sumk=0^inftyx^2k+12k+1
O intervalo de convergência é -1.

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