Verdadeiro ou falso? Marque sua resposta no espaço indicado.
( ) Seja f:(0,1) times(0,1) R definida por: f(x, y)=0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 ldots am bm ldots se 0 a1 a2 a3 a4 ldots am ldots e 0 b1 b2 b3 b4 ldots bm ldots forem as expansões decimais não terminantes de x e y, respectivamente. Então f in C^0((0,1) times(0,1)).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função $ f $ definida no intervalo f que combina as expansões decimais de $ x $ e $ y $ de forma alternada. A questão pergunta se essa função é contínua ($ C^{0} $) nesse domínio. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como as expansões decimais influenciam essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f $ é contínua em um ponto se, ao aproximarmos os valores de entrada desse ponto, os valores de saída também se aproximam sem “saltos”. Em termos matemáticos, para todo $ \epsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que se $ |x - a| < \delta $, então $ |f(x) - f(a)| < \epsilon $.

Passo 3

Agora, vamos analisar como a função $ f(x, y) $ está definida. Ela intercalia os dígitos das expansões decimais de $ x $ e $ y $. Por exemplo, se $ x = 0.a_1a_2a_3··· $ e $ y = 0.b_1b_2b_3··· $, então $ f(x, y) = 0.a_1b_1a_2b_2a_3b_3··· $.

Passo 4

O ponto crítico aqui é que as expansões decimais não são únicas. Alguns números têm duas representações decimais, como $ 0.4999··· = 0.5000··· $. Essa ambiguidade pode causar “saltos” na função $ f $, já que pequenos ajustes em $ x $ ou $ y $ podem mudar drasticamente a sequência de dígitos resultante.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo específico. Suponha que $ x $ se aproxima de $ 0.5 $ pela esquerda e $ y $ é fixo. Se $ x $ for $ 0.4999··· $, a sequência intercalada será diferente de $ x = 0.5000··· $. Isso significa que, mesmo para entradas muito próximas, os valores de $ f(x, y) $ podem não estar próximos, violando a continuidade.

Passo 6

Esse comportamento mostra que a função $ f $ não preserva a proximidade das entradas nas saídas, ou seja, ela não é contínua em todos os pontos de f . A existência de pontos de descontinuidade devido às múltiplas representações decimais reforça essa conclusão.

Resposta

Falso. A função $ f $ não é contínua em f .

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