Para cada uma das funções abaixo, encontre a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto P indicado:
(a) P=(1,3), f(x)=3 x^{8}-x^{5}+1

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado. Informações dadas:
  • Ponto P=(1,3).
  • Função f(x)=3x^{8}-x^{5}+1.
    O que devemos encontrar:
  • A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 2

Ideia-chave (o que significa “reta tangente” aqui): a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f num ponto de abscissa x_0 é a derivada de f avaliada em x_0. Formalmente:
m=f'(x_0),
onde m é a inclinação da reta tangente e x_0 é a coordenada x do ponto (aqui x_0=1). A derivada f'(x) é definida como
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas na prática, para polinômios, usamos regras prontas (como a regra do poder) em vez de calcular esse limite toda vez.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada): a regra do poder diz que, para um termo da forma a x^{n}, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\;x^{n-1}.
Aqui:
  • a é o coeficiente numérico do termo,
  • n é o expoente (um número inteiro positivo no nosso polinômio),
  • x é a variável.
    Também usamos a linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é 0.
    Exemplos rápidos para fixar:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=20x^{3},\qquad \frac{d}{dx}(7)=0.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo à função f(x)=3x^{8}-x^{5}+1:
  • Derivada de 3x^{8}: use a=3, n=8, então
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{8}\bigr)=3\cdot 8\;x^{7}=24x^{7}.
  • Derivada de -x^{5}: aqui a=-1, n=5, então
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{5}\bigr)=-1\cdot 5\;x^{4}=-5x^{4}.
  • Derivada de 1 (constante) é 0.
    Somando:
f'(x)=24x^{7}-5x^{4}.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x_0=1 para obter a inclinação m:
f'(1)=24\cdot 1^{7}-5\cdot 1^{4}=24-5=19.
Portanto a inclinação da reta tangente é m=19.

Passo 6

Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m,
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=3 e m=19:
y-3=19(x-1).
Desenvolvendo para a forma y=mx+b:
y-3=19x-19
y=19x-19+3
y=19x-16.

Resposta

y=19x-16

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