Para cada uma das funções abaixo, encontre a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto
indicado:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado. Informações dadas:
- Ponto
. - Função
.
O que devemos encontrar: - A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Passo 2
Ideia-chave (o que significa “reta tangente” aqui): a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
num ponto de abscissa
é a derivada de
avaliada em
. Formalmente:
onde
é a inclinação da reta tangente e
é a coordenada
do ponto (aqui
). A derivada
é definida como
mas na prática, para polinômios, usamos regras prontas (como a regra do poder) em vez de calcular esse limite toda vez.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada): a regra do poder diz que, para um termo da forma
, a derivada é
Aqui:
-
é o coeficiente numérico do termo, -
é o expoente (um número inteiro positivo no nosso polinômio), -
é a variável.
Também usamos a linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é.
Exemplos rápidos para fixar:
Passo 4
Aplicando a regra termo a termo à função
:
- Derivada de
: use , , então
- Derivada de
: aqui , , então
- Derivada de
(constante) é .
Somando:
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Portanto a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta que passa por
com inclinação
,
Substituindo
,
e
:
Desenvolvendo para a forma
: