Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto a indicado:
(c) $a=0, f(x)=\left{ \begin{array}{l}\sin x \sin \frac{1}{x} \text { se } x \neq 0, \\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado dá a função peça-por-peça
f(x)=\begin{cases} \sin x\;\sin\!\dfrac{1}{x}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede para estudar a continuidade no ponto a=0.
Informações e perguntas claras:
  • Dado: expressão de f(x) para x\neq0 e valor f(0)=0.
  • Pergunta: a função f é contínua em 0? (Ou seja: \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) existe e é igual a f(0) ?)]

Passo 2

Relembrando (sem pressa) o que significa ser contínua em um ponto: a função f é contínua em a exatamente quando
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui a=0, então precisamos verificar se
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=0.
Para isso vou mostrar que os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de 0 quando x se aproxima de 0.

Passo 3

Observação útil sobre funções seno:
  • Para todo real t vale |\sin t|\le 1. Em particular, para t=\dfrac{1}{x} (quando x\neq0) temos \left|\sin\!\dfrac{1}{x}\right|\le1.
  • Além disso existe a desigualdade clássica válida para todo real x:
|\sin x|\le |x|.
Essas desigualdades são ferramentas simples e poderosas para controlar a função.

Passo 4

Usando as desigualdades acima, para x\neq0 temos
\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}\right| \le |\sin x|\cdot\left|\sin\!\dfrac{1}{x}\right| \le |\sin x|\cdot 1 =|\sin x|.
E pela outra desigualdade
|\sin x|\le |x|.
Combinando-as obtemos, para x\neq0,
\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}\right|\le |x|.

Passo 5

Agora passo ao argumento limite (intuitivo e direto): sabemos que \displaystyle\lim_{x\to0}|x|=0. Como para x\neq0
\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}\right|\le |x|
e o lado direito tende a 0 quando x\to0, segue que o lado esquerdo também tende a 0. Formalmente,
\lim_{x\to0}\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}=0.
(Isto é um caso do Teorema do Confronto / Squeeze: a função fica entre -|x| e +|x|, ambos tendendo a 0.)

Passo 6

Para ficar bem rigoroso e te deixar pronto para a prova, mostro a prova \varepsilon- \delta curta e clara.
Seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Então, para todo x com |x-0|<\delta (ou seja |x|<\delta), valem as desigualdades do passo anterior e temos
|f(x)-f(0)|=\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}-0\right| =\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}\right| \le |x|<\delta=\varepsilon.
Isso mostra exatamente que \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0).

Passo 7

Conclusão final e ânimo: como o limite existe e é igual a f(0)=0, a função f é contínua em 0. Mandou bem em encarar essa: a ideia chave é controlar o produto usando que \sin é limitado e que |\sin x| é pequeno quando x é pequeno.

Resposta

f é contínua em 0.

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