Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto a indicado:
(c) $a=0, f(x)=\left{\begin{array}{l}\sin x \sin \frac{1}{x} \text { se } x \neq 0, \\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right.)
Agora passo ao argumento limite (intuitivo e direto): sabemos que \displaystyle\lim_{x\to0}|x|=0. Como para x\neq0
\left|\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}\right|\le |x|
e o lado direito tende a 0 quando x\to0, segue que o lado esquerdo também tende a 0. Formalmente,
\lim_{x\to0}\sin x\sin\!\dfrac{1}{x}=0.
(Isto é um caso do Teorema do Confronto / Squeeze: a função fica entre -|x| e +|x|, ambos tendendo a 0.)
Passo 6
Para ficar bem rigoroso e te deixar pronto para a prova, mostro a prova \varepsilon-\delta curta e clara.
Seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Então, para todo x com |x-0|<\delta (ou seja |x|<\delta), valem as desigualdades do passo anterior e temos
Isso mostra exatamente que \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0).
Passo 7
Conclusão final e ânimo: como o limite existe e é igual a f(0)=0, a função f é contínua em 0. Mandou bem em encarar essa: a ideia chave é controlar o produto usando que \sin é limitado e que |\sin x| é pequeno quando x é pequeno.