Provar que as seguintes funções tem pelo menos uma raíz real:
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado pede que se prove que a função
tem pelo menos uma raiz real, onde
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vamos usar):
- A expressão contém
, portanto estamos trabalhando no conjunto de números reais com . Ou seja, o domínio natural para é . - A tarefa é mostrar que existe
real (no domínio) tal que .
Passo 2
Ideia útil e ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Antes de aplicá-lo, precisamos garantir que
é contínua no intervalo que escolhermos. Vou explicar por que
é contínua em
.
- Polinômios são funções contínuas em toda a reta; portanto a função
é contínua em todo . - A função
é contínua em . (Intuição: é a função , que é bem comportada e tem limite igual ao valor quando .) - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Como
é combinação (soma/subtração) de funções contínuas em
, concluímos que
é contínua em
.
Passo 3
Calcular
em dois pontos simples do intervalo
. Esses pontos são escolhas naturais porque estão no domínio e os cálculos ficam fáceis.
- Avaliando em
:
Logo
.
- Avaliando em
:
Logo
.
Passo 4
Enunciar claramente o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vamos aplicar:
Se
é contínua em
e os valores
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe
tal que
.
Explicação simples do porquê isso funciona (intuição de prova): uma função contínua não “pula” valores — se em
ela é positiva e em
é negativa, ao ir de
para
ela deve passar por zero em algum ponto intermediário.
Passo 5
Aplicar o TVI ao nosso caso.
- Já provamos que
é contínua em . - Calculamos
e . Portanto , ou seja, os sinais são opostos.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto
em
tal que
Isso prova que a função
tem pelo menos uma raiz real (e essa raiz está localizada no intervalo
).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova na prova (como fazer rápido e seguro):
- Primeiro identifique o domínio (aqui
por causa da raiz quadrada). - Teste valores simples na borda desse domínio (aqui
e são escolhas naturais). - Mostre continuidade no intervalo que escolheu (polinômios e
são contínuos). - Verifique mudança de sinal e invoque o TVI.
Esse é um caminho padrão e rápido para mostrar existência de raiz.
Resposta
Existe
tal que
.