Provar que as seguintes funções tem pelo menos uma raíz real:
(b) f(x)=1-x^{2}-\sqrt{x};

Passo 1

O enunciado pede que se prove que a função f tem pelo menos uma raiz real, onde
f(x)=1-x^{2}-\sqrt{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vamos usar):
  • A expressão contém \sqrt{x}, portanto estamos trabalhando no conjunto de números reais com x\ge 0. Ou seja, o domínio natural para f é [0,\infty).
  • A tarefa é mostrar que existe x real (no domínio) tal que f(x)=0.

Passo 2

Ideia útil e ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Antes de aplicá-lo, precisamos garantir que f é contínua no intervalo que escolhermos. Vou explicar por que f é contínua em [0,1].
  • Polinômios são funções contínuas em toda a reta; portanto a função x\mapsto x^{2} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em [0,\infty). (Intuição: é a função x^{1/2}, que é bem comportada e tem limite igual ao valor quando x\to x_0\ge0.)
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Como f(x)=1 - x^{2} - \sqrt{x} é combinação (soma/subtração) de funções contínuas em [0,\infty), concluímos que f é contínua em [0,1].

Passo 3

Calcular f em dois pontos simples do intervalo [0,1]. Esses pontos são escolhas naturais porque estão no domínio e os cálculos ficam fáceis.
  • Avaliando em x=0:
f(0)=1-0^{2}-\sqrt{0}=1-0-0=1.
Logo f(0)=1>0.
  • Avaliando em x=1:
f(1)=1-1^{2}-\sqrt{1}=1-1-1=-1.
Logo f(1)=-1<0.

Passo 4

Enunciar claramente o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vamos aplicar:
Se g é contínua em [a,b] e os valores g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Explicação simples do porquê isso funciona (intuição de prova): uma função contínua não “pula” valores — se em a ela é positiva e em b é negativa, ao ir de a para b ela deve passar por zero em algum ponto intermediário.

Passo 5

Aplicar o TVI ao nosso caso.
  • Já provamos que f é contínua em [0,1].
  • Calculamos f(0)=1>0 e f(1)=-1<0. Portanto f(0)\cdot f(1)=-1<0, ou seja, os sinais são opostos.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c em (0,1) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso prova que a função f(x)=1-x^{2}-\sqrt{x} tem pelo menos uma raiz real (e essa raiz está localizada no intervalo (0,1)).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova na prova (como fazer rápido e seguro):
  • Primeiro identifique o domínio (aqui x\ge0 por causa da raiz quadrada).
  • Teste valores simples na borda desse domínio (aqui 0 e 1 são escolhas naturais).
  • Mostre continuidade no intervalo que escolheu (polinômios e \sqrt{x} são contínuos).
  • Verifique mudança de sinal e invoque o TVI.
    Esse é um caminho padrão e rápido para mostrar existência de raiz.

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.

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