Para cada uma das funções abaixo, encontre a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto P indicado:
(c) P=(0,1), f(x)=-5 x^{3}+\cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto P:
  • f(x) = -5 x^{3} + \cos x.
  • P = (0,1) (ou seja, x_{0}=0 e y_{0}=1).
O que a questão pede:
  • Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 2

Idéia-chave e fórmula que vamos usar:
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=x_{0} é dada pela derivada f'(x_{0}). A derivada em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto (pense como a inclinação da curva).
  • A equação da reta com inclinação m que passa por (x_{0},y_{0}) é dada pela forma ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Aqui:
  • m é a inclinação (aqui será f'(x_{0})),
  • x_{0} e y_{0} são as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 3

Calcular f'(x) passo a passo (regras usadas):
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; constantes multiplicam normalmente.
  • Derivada da cosseno: \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
Aplicando às parcelas de f:
  • Para -5 x^{3}: usar a regra do poder com constante -5: \frac{d}{dx}\big(-5 x^{3}\big) = -5 \cdot 3 x^{2} = -15 x^{2}.
  • Para \cos x: \frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
Somando as derivadas (pela linearidade):
f'(x) = -15 x^{2} - \sin x.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x_{0}=0 para obter a inclinação da tangente:
f'(0) = -15\cdot 0^{2} - \sin 0 = 0 - 0 = 0.
Observação: \sin 0 = 0, por isso o resultado é 0. Então a reta tangente tem inclinação m=0 — isto é, é uma reta horizontal.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação com m=0, x_{0}=0 e y_{0}=1:
y - 1 = 0\cdot (x - 0).
Simplificando:
y - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
Interpretação curta: a reta tangente é a reta horizontal que passa por y=1.

Resposta

y=1

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