Para cada uma das funções abaixo, encontre a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto
indicado:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
:
-
. -
(ou seja, e ).
O que a questão pede:
- Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Passo 2
Idéia-chave e fórmula que vamos usar:
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é dada pela derivada . A derivada em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto (pense como a inclinação da curva). - A equação da reta com inclinação
que passa por é dada pela forma ponto-inclinação:
Aqui:
-
é a inclinação (aqui será ), -
e são as coordenadas do ponto de tangência.
Passo 3
Calcular
passo a passo (regras usadas):
- Regra do poder: a derivada de
é . - Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; constantes multiplicam normalmente.
- Derivada da cosseno:
.
Aplicando às parcelas de
:
- Para
: usar a regra do poder com constante : - Para
:
Somando as derivadas (pela linearidade):
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação da tangente:
Observação:
, por isso o resultado é
. Então a reta tangente tem inclinação
— isto é, é uma reta horizontal.
Passo 5
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação com
,
e
:
Simplificando:
Interpretação curta: a reta tangente é a reta horizontal que passa por
.