Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
f(x, y)=x^2-6 x y+2 y^2+10 x+2 y-5

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a função f(x,y)=x^2-6xy+2y^2+10x+2y-5. O objetivo é encontrar os pontos críticos, que ocorrem onde o gradiente de f é zero, e então usar a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas) para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, seguindo o critério do determinante da Hessiana.

Passo 2

Cálculo do gradiente e solução do sistema: as derivadas parciais são partial fpartial x=2x-6y+10 e partial fpartial y=-6x+4y+2. Igualando a zero, montamos o sistema
2x-6y+10=0 -6x+4y+2=0
Da primeira equação temos x=3y-5. Substituindo na segunda: -6(3y-5)+4y+2=0 leva a y=16/7 e então x=13/7.

Passo 3

Cálculo da Hessiana e classificação: a matriz Hessiana é
H= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 =2 & -6-6 & 4
O determinante vale det H=2cdot4-(-6)^2=8-36=-28<0. Como o determinante é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (13/7,16/7) e ele é um ponto de sela.

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