Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: temos a função . O objetivo é encontrar os pontos críticos, que ocorrem onde o gradiente de é zero, e então usar a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas) para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, seguindo o critério do determinante da Hessiana.
Passo 2
Cálculo do gradiente e solução do sistema: as derivadas parciais são e . Igualando a zero, montamos o sistema
Da primeira equação temos . Substituindo na segunda: leva a e então .
Passo 3
Cálculo da Hessiana e classificação: a matriz Hessiana é
O determinante vale det H=2cdot4-(-6)^2=8-36=-28<0. Como o determinante é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (13/7,16/7) e ele é um ponto de sela.