Quais das seguintes séries sum an definidas recursivamente convergem?
a1=2, an+1=1+sen nn an

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty an, onde a1=2 e a sequência é dada recursivamente por an+1=1+sin nn,an. O conteúdo principal é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, calculamos o quociente entre termos consecutivos: |an+1||an|=|1+sin n|n,an. Como -1<=sin n<=1, temos 0<=1+sin n<=2, logo
|an+1||an|<=2n

Passo 3

Como limntoinfty 2n=0, segue que
L=limsupntoinfty|an+1||an|=0<1

Passo 4

Pelo teste da razão, se L<1 então a série sum an converge absolutamente, e portanto converge.
Concluímos que a série sumn=1^inftyan converge.

Resposta

A série converge.

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