O problema é um PVI de sistema linear inhomogêneo, do tipo X'=AX+f(t) com condição inicial X(0)=10. Aqui A é a matriz constante
Passo 2
Para resolver, primeiro achamos a solução geral do sistema homogêneo X'=AX. A matriz A é
A=1&14&1
O polinômio característico é det(A-lambda I)=lambda^2-2lambda-3=0, cujas raízes são lambda1=3 e lambda2=-1.
Passo 3
Os autovetores correspondentes são obtidos de (A-3I)v=0 e (A+I)v=0:
para lambda1=3, escolhemos v1=12;
para lambda2=-1, escolhemos v2=1-2.
Logo, a solução homogênea é
Xh(t)=C1e^3t12+C2e^-t1-2
Passo 4
Para achar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é f(t)=2-1e^t e e^t não coincide com nenhum autovalor, tentamos
Xp(t)=v,e^t,
substituindo em X'=AX+f(t) e cancelando o e^t, obtemos
v=A v+2-1,
i.e.
(I-A)v=2-1
Como
I-A=0&-1-4&0,
da-se
-v2=2,-4v1=-1
logo v2=-2 e v1=1/4. Assim
$$
X_p(t)=e^t Xp(t)=e^t1/4-2 .
$$
Passo 5
A solução geral do PVI é
X(t)=Xh(t)+Xp(t)=C1e^3t12+C2e^-t1-2+e^t1/4-2
Impondo X(0)=10, temos o sistema
C1+C2+1/4=1,2C1-2C2-2=0,
cuja solução é C1=7/8 e C2=-1/8.
Substituindo C1 e C2, chega-se à solução particular que satisfaz o PVI: