Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumj=1^infty (-1)^jcosh j

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série sumj=1^infty (-1)^jcosh j é absolutamente convergente ou divergente. Vamos usar teoria de convergência absoluta e o teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos: sumj=1^infty gl|(-1)^jcosh jr|=sumj=1^infty 1cosh j. Queremos comparar 1/cosh j com um termo de série geométrica.

Passo 3

Usamos a definição de função hiperbólica:
cosh j = e^j + e^-j2 >= e^j2, j>=1
Dessa desigualdade segue que
1cosh j <= 2e^j = 2,e^-j

Passo 4

Agora observamos que sumj=1^infty2,e^-j é uma série geométrica de razão r=e^-1, com 0, logo ela converge:
sumj=1^infty2,e^-j = 2sumj=1^infty(e^-1)^j = 2e^-11-e^-1 < infty

Passo 5

Pelo teste da comparação, como 0<=1/cosh j<=2e^-j e sum2e^-j converge, concluímos que sum1/cosh j também converge.
Portanto, a série original sumj=1^infty(-1)^j/cosh j converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados