Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série é absolutamente convergente ou divergente. Vamos usar teoria de convergência absoluta e o teste de comparação com uma série geométrica.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos: . Queremos comparar 1/cosh j com um termo de série geométrica.
Passo 3
Usamos a definição de função hiperbólica:
cosh j = e^j + e^-j2 >= e^j2, j>=1
Dessa desigualdade segue que
1cosh j <= 2e^j = 2,e^-j
Passo 4
Agora observamos que sumj=1^infty2,e^-j é uma série geométrica de razão r=e^-1, com 0, logo ela converge:
Pelo teste da comparação, como 0<=1/cosh j<=2e^-j e sum2e^-j converge, concluímos que sum1/cosh j também converge.
Portanto, a série original sumj=1^infty(-1)^j/cosh j converge absolutamente.