Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y,z)=x4+x2z+y^2+/2+xy e classificá-los (mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo). Vamos usar cálculo de várias variáveis: primeiro fazemos ∇f=0 para achar os pontos críticos e depois examinamos o Hessiano para classificar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f:
O sistema ∇f=0 é
Passo 3
Da equação 2y+x=0 vem , e de x^2+z=0 vem . Substituindo em 4x^3+2xz+y=0:
Logo x=0 ou x=±1/2. Assim os pontos críticos são
Passo 4
Montamos o Hessiano H = [f_{ij}] com
Em forma de matriz:
Passo 5
Agora avaliamos H em cada ponto e usamos os menores principais D1,D2,D3 para ver se é definido positivo (mínimo) ou indefinido (sela):
Para (0,0,0):
H=0&1&01&2&00&0&1,;D1=0,;D2=det0&11&2=-1<0
Como há sinal trocado, H é indefinido → ponto de sela.
Para (1/2,-1/4,-1/4): H=2.5&1&11&2&01&0&1,;D1=2.5>0,;D2=4>0,;D3=2>0
Todos positivos → definido positivo → mínimo local.
Para (-1/2,1/4,-1/4):
H=2.5&1&-11&2&0-1&0&1,;D1=2.5>0,;D2=4>0,;D3=2>0
Também mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0,0) – ponto de sela; (1/2,−1/4,−1/4) – mínimo local; (−1/2,1/4,−1/4) – mínimo local.