Para cada uma das funções abaixo, encontre os pontos críticos e classifiqueos como mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo.
f(x, y, z)=x^4+x^2 z+y^2+z^22+x y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y,z)=x4+x2z+y^2+ z^2/2+xy e classificá-los (mínimo local, máximo local, ponto de sela ou inconclusivo). Vamos usar cálculo de várias variáveis: primeiro fazemos ∇f=0 para achar os pontos críticos e depois examinamos o Hessiano para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx=4x^3+2xz+y, fy=2y+x, fz=x^2+z
O sistema ∇f=0 é
4x^3+2xz+y=0, 2y+x=0, x^2+z=0

Passo 3

Da equação 2y+x=0 vem y=-x/2, e de x^2+z=0 vem z=-x^2. Substituindo em 4x^3+2xz+y=0:
4x^3+2x(-x^2)- x2=2x^3- x2=0implies x(4x^2-1)=0
Logo x=0 ou x=±1/2. Assim os pontos críticos são
(0,0,0), (1/2,-1/4,-1/4), (-1/2,1/4,-1/4)

Passo 4

Montamos o Hessiano H = [f_{ij}] com
fxx=12x^2+2z,;fxy=1,;fxz=2x,;fyy=2,;fyz=0,;fzz=1
Em forma de matriz:
H=12x^2+2z & 1 & 2x1 & 2 & 02x & 0 & 1

Passo 5

Agora avaliamos H em cada ponto e usamos os menores principais D1,D2,D3 para ver se é definido positivo (mínimo) ou indefinido (sela):
Para (0,0,0):
H=0&1&01&2&00&0&1,;D1=0,;D2=det0&11&2=-1<0
Como há sinal trocado, H é indefinido → ponto de sela.
Para (1/2,-1/4,-1/4):
H=2.5&1&11&2&01&0&1,;D1=2.5>0,;D2=4>0,;D3=2>0
Todos positivos → definido positivo → mínimo local.
Para (-1/2,1/4,-1/4):
H=2.5&1&-11&2&0-1&0&1,;D1=2.5>0,;D2=4>0,;D3=2>0
Também mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0,0) – ponto de sela; (1/2,−1/4,−1/4) – mínimo local; (−1/2,1/4,−1/4) – mínimo local.

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