Calcule a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A onde D é a regiao contida na circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2),dA sobre o disco unitário. O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares, onde usamos a relação x^2+y^2=r^2 e o jacobiano dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Fazendo a transformação para coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta. A região D em polares fica com 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi, e o elemento de área é dA = r,dr,dtheta.
Montamos a integral em polares:
integral duplaD e^-(x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral0^1 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Para resolver a integral em r, usamos a substituição u = r^2, de modo que du = 2r,dr e r,dr = tfrac12,du. Assim:
integral0^1 e^-r^2,r,dr = 12integral0^1 e^-u,du = 12l(1 - e^-1r)

Passo 4

Agora integramos em theta: integral0^2pidtheta = 2pi. Multiplicando tudo, obtemos:
2pi times 12l(1 - e^-1r) = pil(1 - e^-1r)

Resposta

pi (1 - e^-1)

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