Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f(x, y, z, t)=x y z t sujeito aos vínculos x-z=2, y^2+t=4

Passo 1

Primeiro, temos f(x,y,z,t)=x y z t e os vínculos g₁(x,z)=x−z−2=0 e g₂(y,t)=y²+t−4=0. O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, onde vamos montar a função L = f − λ₁ g₁ − λ₂ g₂ e igualar as derivadas parciais a zero.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana:
L(x,y,z,t,λ₁,λ₂)=x y z t - λ₁(x - z - 2) - λ₂(y^2 + t - 4)
As equações-­chave são:
∂L∂x=y z t - λ₁=0,
∂L∂y=x z t - 2y λ₂=0,
∂L∂z=x y t + λ₁=0,
∂L∂t=x y z - λ₂=0,
e os vínculos
x - z - 2=0,
y^2 + t - 4=0

Passo 3

Da primeira e terceira equações temos y z t = λ₁ e x y t + λ₁ = 0, logo y z t = - x y t. Se y·t≠0, divide-se por y t:
z = -x
Juntando com x - z = 2 dá x = 1 e z = -1.

Passo 4

Agora usamos a quarta equação λ₂ = x y z = -y e a segunda x z t = 2y λ₂. Substituindo x z = -1 e λ₂ = -y:
-1·t = 2y(-y) ⇒ -t = -2y^2 ⇒ t = 2y^2
Mas o vínculo t = 4 - y^2 implica 2y^2 = 4 - y^2, logo 3y^2 = 4 e y = ±2/√3. Então t = 8/3.

Passo 5

Portanto, surgem dois pontos críticos não degenerados:
(1) (x,y,z,t)=(1,2/√3,-1,8/3) com f = -16/(3√3),
(2) (x,y,z,t)=(1,-2/√3,-1,8/3) com f = +16/(3√3).

Passo 6

Faltam os casos especiais y=0 ou t=0 (em que dividimos por y t), que também satisfazem as condições de Lagrange. Eles geram pontos com f=0:
• Se y=0, t=4 e (x,z)=(2,0) ou (0,-2).
• Se t=0, y=±2 e (x,z)=(2,0) ou (0,-2).
Esses pontos têm f=0 e são pontos degenerados (saddle).

Resposta

Os extremos não degenerados são:
Máximo local em (1,-2/√3,-1,8/3) com f=+16/(3√3),
Mínimo local em (1,2/√3,-1,8/3) com f=-16/(3√3).

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