Para cada umas das funções abaixo esboce algumas superfícies de nível e determine o seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para a função
esboçar algumas superfícies de nível e determinar o seu domínio. O conteúdo envolve entender o que é domínio de uma função de três variáveis e o que são superfícies de nível, ou seja, os conjuntos
para constantes
.
Passo 2
Como
é uma soma de quadrados de
, trata-se de um polinômio em
. Polinômios estão definidos para todo real, logo o domínio de
é
Passo 3
A superfície de nível de valor
é o conjunto
Reconhecemos nessa equação a de uma esfera centrada na origem com raio
, desde que
seja real.
Passo 4
Analisando por casos de
:
– Se , não existe
real, então a superfície de nível está vazia.
– Se , temos
, o que só ocorre em
; é uma esfera degenerada (um ponto).
– Se , obtemos uma esfera de raio
.
– Se
– Se
– Se
Passo 5
Para esboçar, basta desenhar várias esferas concêntricas centradas na origem. Por exemplo, para
desenhamos a esfera de raio
; para
, a esfera de raio
; para
, a esfera de raio
, e assim por diante. Cada esfera é uma superfície de nível distinta.
Resposta
Domínio:
.
Superfícies de nível para cada :
– : nenhum ponto.
– : ponto
.
– : esfera centrada na origem de raio
.
Superfícies de nível para cada
–
–
–