Para cada umas das funções abaixo esboce algumas superfícies de nível e determine o seu domínio.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
esboçar algumas superfícies de nível e determinar o seu domínio. O conteúdo envolve entender o que é domínio de uma função de três variáveis e o que são superfícies de nível, ou seja, os conjuntos
\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=k\}
para constantes k.

Passo 2

Como f é uma soma de quadrados de x,y,z, trata-se de um polinômio em (x,y,z). Polinômios estão definidos para todo real, logo o domínio de f é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\}.

Passo 3

A superfície de nível de valor k é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=k\}.
Reconhecemos nessa equação a de uma esfera centrada na origem com raio \sqrt{k}, desde que \sqrt{k} seja real.

Passo 4

Analisando por casos de k:
– Se k<0, não existe \sqrt{k} real, então a superfície de nível está vazia.
– Se k=0, temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=0, o que só ocorre em (0,0,0); é uma esfera degenerada (um ponto).
– Se k>0, obtemos uma esfera de raio \sqrt{k}.

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar várias esferas concêntricas centradas na origem. Por exemplo, para k=1 desenhamos a esfera de raio 1; para k=4, a esfera de raio 2; para k=9, a esfera de raio 3, e assim por diante. Cada esfera é uma superfície de nível distinta.

Resposta

Domínio:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\}.
Superfícies de nível para cada k\in\mathbb{R}:
k<0: nenhum ponto.
k=0: ponto (0,0,0).
k>0: esfera centrada na origem de raio \sqrt{k}.

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