Considere as superfícies
\begin{gathered} S_{1}=\left\{36 x^{2}+9 y^{2}-36 y+4 z^{2}=0\right\} \\\ S_{2}=\left\{z^{2}=x^{2}+b^{2} y^{2}\right\}, \end{gathered}
onde b>0.
Classifique a quádrica S_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
S_{1}=\{\,36x^{2}+9y^{2}-36y+4z^{2}=0\}
e pede para classificá-la como quadric. Para isso vamos reconhecer sua forma canônica completando o quadrado e comparando com as equações padrão de quadricas.

Passo 2

Reescrevemos o termo em y completando o quadrado:
9y^{2}-36y = 9\bigl(y^{2}-4y\bigr) =9\bigl((y-2)^{2}-4\bigr) =9(y-2)^{2}-36.

Passo 3

Substituindo na equação original:
36x^{2} + \bigl[9(y-2)^{2}-36\bigr] + 4z^{2} = 0
\Longrightarrow 36x^{2} + 9(y-2)^{2} + 4z^{2} = 36.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 36 para obter a forma normalizada:
\frac{36x^{2}}{36} + \frac{9(y-2)^{2}}{36} + \frac{4z^{2}}{36} = 1
\Longrightarrow x^{2} + \frac{(y-2)^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = 1.

Passo 5

A equação
x^{2} + \frac{(y-2)^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{9} = 1
é exatamente a forma canônica de um elipsoide. O centro é (0,2,0) e os comprimentos dos semi-eixos são 1 (direção x), 2 (direção y) e 3 (direção z).

Resposta

S_{1} é um elipsoide centrado em (0,2,0) com semi-eixos de comprimentos 1, 2 e 3.

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