Considere o paraboloide
.
(a) Esboce a superfície.
(b) Mostre que a curva que resulta da interseção da superfície com o plano
está contida no cilindro
.
(a) Esboce a superfície.
(b) Mostre que a curva que resulta da interseção da superfície com o plano
Passo 1
O enunciado nos dá o paraboloide
e pede:
(a) um esboço dessa superfície;
(b) mostrar que a curva de interseção com o plano
(a) um esboço dessa superfície;
(b) mostrar que a curva de interseção com o plano
está contida no cilindro
Para isso vamos lembrar a forma geral de um paraboloide circular e depois substituir
na equação do plano e completar quadrados.
Passo 2
Esboço do paraboloide
:
– É um paraboloide circular com vértice em e eixo alinhado ao eixo
.
– Para cada valor fixo de temos
, ou seja, seções horizontais são círculos de raio
.
– Ele “abre para baixo”, pois os coeficientes de e
são negativos.
– Intercepta o plano no círculo
.
– É um paraboloide circular com vértice em
– Para cada valor fixo de
– Ele “abre para baixo”, pois os coeficientes de
– Intercepta o plano
Passo 3
Para encontrar a curva de interseção com o plano
, substituímos
na equação do plano:
Agora completamos quadrados em
e
:
Isso mostra que toda a curva de interseção satisfaz
ou seja, está contida no cilindro desejado.
Resposta
(a) É um paraboloide circular de vértice em
que abre para baixo, com seções horizontais
constante. Intercepta
no círculo
.
(b) Substituindo em
e completando quadrados obtém-se
(b) Substituindo
logo a curva de interseção está contida nesse cilindro.