Considere o paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}.
(a) Esboce a superfície.
(b) Mostre que a curva que resulta da interseção da superfície com o plano x+y+z=0 está contida no cilindro \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá o paraboloide
z = 1 - x^2 - y^2
e pede:
(a) um esboço dessa superfície;
(b) mostrar que a curva de interseção com o plano
x + y + z = 0
está contida no cilindro
\bigl(x - \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 = \tfrac32.
Para isso vamos lembrar a forma geral de um paraboloide circular e depois substituir z na equação do plano e completar quadrados.

Passo 2

Esboço do paraboloide z = 1 - x^2 - y^2:
– É um paraboloide circular com vértice em (0,0,1) e eixo alinhado ao eixo z.
– Para cada valor fixo de z=k temos x^2 + y^2 = 1 - k, ou seja, seções horizontais são círculos de raio \sqrt{1-k}.
– Ele “abre para baixo”, pois os coeficientes de x^2 e y^2 são negativos.
– Intercepta o plano z=0 no círculo x^2 + y^2 =1.

Passo 3

Para encontrar a curva de interseção com o plano x + y + z = 0, substituímos
z = 1 - x^2 - y^2
na equação do plano:
x + y + \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr) = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; -x^2 - y^2 + x + y + 1 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 + y^2 - x - y - 1 = 0.
Agora completamos quadrados em x e y:
x^2 - x + y^2 - y = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl(x - \tfrac12\bigr)^2 - \tfrac14 \;+\; \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 - \tfrac14 = 1
\Longrightarrow \bigl(x - \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 = 1 + \tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac32.
Isso mostra que toda a curva de interseção satisfaz
\bigl(x - \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 = \tfrac32,
ou seja, está contida no cilindro desejado.

Resposta

(a) É um paraboloide circular de vértice em (0,0,1) que abre para baixo, com seções horizontais x^2+y^2= constante. Intercepta z=0 no círculo x^2+y^2=1.
(b) Substituindo z em x+y+z=0 e completando quadrados obtém-se
\bigl(x - \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 = \tfrac32,
logo a curva de interseção está contida nesse cilindro.

Exercícios relacionados