Para cada umas das funções abaixo esboce algumas superfícies de nível e determine o seu domínio.
f(x, y, z)=z-x^{2}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y,z)=z - x^{2} - 2y^{2}
(a) determinar o domínio de definição de f e
(b) esboçar algumas superfícies de nível, isto é, os conjuntos
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\}
para valores diversos de c.
O conteúdo usado aqui é noções básicas de domínio de funções multivariáveis e de superfícies de nível.

Passo 2

Para descobrir o domínio, basta ver onde a fórmula de f faz sentido. Como f é dada por uma combinação polinomial de x, y e z, não há raiz, fração nem logaritmo que restrinja os valores.
Logo,
\text{dom}(f)=\{(x,y,z)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R},\,z\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 3

As superfícies de nível são definidas por
f(x,y,z)=c \quad\Longleftrightarrow\quad z - x^{2} - 2y^{2}=c \quad\Longleftrightarrow\quad z = x^{2} + 2y^{2} + c.
Cada valor fixo de c gera uma superfície de equação
z = x^{2} + 2y^{2} + c,
que é um paraboloide elíptico abrindo para cima, com vértice em (0,0,c).

Passo 4

Para visualizar:
– Quando c=0, a superfície é z = x^{2} + 2y^{2}, vértice em (0,0,0).
– Quando c>0, o vértice sobe para (0,0,c).
– Quando c<0, o vértice fica abaixo do plano xy.
Em cortes horizontais z=\text{const}>c, as intersecções são elipses
\frac{x^{2}}{\,z-c\,} + \frac{y^{2}}{\,(z-c)/2\,} = 1.
Isso confirma que cada nível é um paraboloide elíptico transladado verticalmente.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{3}.
Superfícies de nível: família de paraboloides elípticos
z = x^{2} + 2y^{2} + c,
com c\in\mathbb{R}.

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