Para cada umas das funções abaixo esboce algumas superfícies de nível e determine o seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para a função
(a) determinar o domínio de definição de
e
(b) esboçar algumas superfícies de nível, isto é, os conjuntos
(b) esboçar algumas superfícies de nível, isto é, os conjuntos
para valores diversos de
.
O conteúdo usado aqui é noções básicas de domínio de funções multivariáveis e de superfícies de nível.
O conteúdo usado aqui é noções básicas de domínio de funções multivariáveis e de superfícies de nível.
Passo 2
Para descobrir o domínio, basta ver onde a fórmula de
faz sentido. Como
é dada por uma combinação polinomial de
,
e
, não há raiz, fração nem logaritmo que restrinja os valores.
Logo,
Logo,
Passo 3
As superfícies de nível são definidas por
Cada valor fixo de
gera uma superfície de equação
que é um paraboloide elíptico abrindo para cima, com vértice em
.
Passo 4
Para visualizar:
– Quando , a superfície é
, vértice em
.
– Quando , o vértice sobe para
.
– Quando , o vértice fica abaixo do plano
.
Em cortes horizontais , as intersecções são elipses
– Quando
– Quando
– Quando
Em cortes horizontais
Isso confirma que cada nível é um paraboloide elíptico transladado verticalmente.
Resposta
Domínio:
.
Superfícies de nível: família de paraboloides elípticos
Superfícies de nível: família de paraboloides elípticos
com
.