Considere a função
(a) Qual é o domínio de
?
(b) Mostre que toda curva de nível de
está contida em alguma parábola.
(c) Faça um esboço das curvas de nível
, identificando cada uma delas.
(b) Mostre que toda curva de nível de
(c) Faça um esboço das curvas de nível
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: (a) o domínio de
, (b) mostrar que cada curva de nível de
é uma parábola, e (c) esboçar as curvas de nível para
. Vamos usar o fato de que o domínio de uma função racional exclui pontos em que o denominador se anula, e que uma curva de nível
se obtém resolvendo essa igualdade em
.
Passo 2
Para determinar o domínio de
basta exigir que o denominador
seja diferente de zero. Logo
isso implica
Portanto o domínio é todo o plano exceto a reta
.
Passo 3
Uma curva de nível de constante
é o conjunto de pontos
tais que
Substituindo a definição de
, temos
Passo 4
A partir da equação anterior multiplicamos por
e isolamos
:
Essa é a equação de uma parábola (com concavidade voltada para cima), cujo vértice fica em
.
Passo 5
Para os casos específicos temos:
quando ,
quando
quando
,
quando
,
A parábola
tem vértice em
, a de
tem vértice em
e a de
tem vértice em
. Todas abrem para cima.
Resposta
(a) O domínio de
é
(b) A curva de nível satisfaz
(b) A curva de nível
ou seja, é uma parábola de concavidade para cima.
(c) As curvas para são, respectivamente,
com vértices em ,
e
.
(c) As curvas para
com vértices em