Considere a função
h(x, y)=\frac{y-x^{2}}{2 x}
(a) Qual é o domínio de h ?
(b) Mostre que toda curva de nível de h está contida em alguma parábola.
(c) Faça um esboço das curvas de nível 0,1 \mathrm{e}-1, identificando cada uma delas.

Passo 1

O enunciado define a função
h(x,y)=\frac{y-x^{2}}{2x}
e pede: (a) o domínio de h, (b) mostrar que cada curva de nível de h é uma parábola, e (c) esboçar as curvas de nível para h=0,\,1,\,-1. Vamos usar o fato de que o domínio de uma função racional exclui pontos em que o denominador se anula, e que uma curva de nível h(x,y)=c se obtém resolvendo essa igualdade em y.

Passo 2

Para determinar o domínio de h basta exigir que o denominador 2x seja diferente de zero. Logo
2x\neq 0
isso implica
x\neq 0.
Portanto o domínio é todo o plano exceto a reta x=0.

Passo 3

Uma curva de nível de constante c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
h(x,y)=c.
Substituindo a definição de h, temos
\frac{y - x^{2}}{2x} = c.

Passo 4

A partir da equação anterior multiplicamos por 2x e isolamos y:
y - x^{2} = 2cx
y = x^{2} + 2cx.
Essa é a equação de uma parábola (com concavidade voltada para cima), cujo vértice fica em \bigl(-c,\,-c^{2}\bigr).

Passo 5

Para os casos específicos temos:
quando c=0,
y = x^{2};
quando c=1,
y = x^{2} + 2x;
quando c=-1,
y = x^{2} - 2x.
A parábola y=x^{2} tem vértice em (0,0), a de c=1 tem vértice em (-1,-1) e a de c=-1 tem vértice em (1,-1). Todas abrem para cima.

Resposta

(a) O domínio de h é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0\}.
(b) A curva de nível h(x,y)=c satisfaz
y = x^{2} + 2c x,
ou seja, é uma parábola de concavidade para cima.
(c) As curvas para c=0,1,-1 são, respectivamente,
\displaystyle y = x^{2},
\displaystyle y = x^{2} + 2x,
\displaystyle y = x^{2} - 2x,
com vértices em (0,0), (-1,-1) e (1,-1).

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