Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário, quad|z|=1, a integral
\int_{C} f(z) d z=0 .
quad f(z)=\frac{z^{2}}{z-3}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar as possíveis singularidades da função
f(z)=\frac{z^{2}}{z-3}
de modo a determinar se é possível aplicar o teorema de Cauchy-Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário C dado por |z|=1,
\int_{C} f(z)\,dz=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função: } f(z)=\frac{z^{2}}{z-3},çã
\text{contorno: } C=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}.
Não há outras informações no enunciado (por exemplo orientação do contorno), então trabalharemos com a orientação positiva habitual.

Passo 2

Encontrar as singularidades de f. Singularidades ocorrem onde o denominador se anula, pois o numerador z^{2} é um polinômio inteiro (não causa problemas de divisão por zero). Resolve-se
z-3=0 \quad\Rightarrow\quad z=3.
Portanto a única singularidade da função é em z=3.

Passo 3

Classificar a singularidade em z=3. Como o denominador tem fator de primeira ordem (z-3) e esse fator não é cancelado pelo numerador (pois z^{2} em z=3 vale 9\neq0), temos uma singularidade de ordem 1 — isto é, um polo simples. Uma maneira prática de ver isso é calcular o limite
\lim_{z\to 3} (z-3)f(z)=\lim_{z\to 3} (z-3)\frac{z^{2}}{z-3}=\lim_{z\to 3} z^{2}=9,
que é finito e não nulo, caracterizando um polo simples (e mostrando também que o resíduo em z=3 é 9).

Passo 4

Verificar a posição dessa singularidade em relação ao círculo unitário |z|=1. Para z=3 temos |3|=3, logo
|3|=3>1.
Isto mostra que a singularidade está fora do disco fechado limitado por C. Além disso, para qualquer ponto z no contorno |z|=1 podemos estimar
|z-3|\ge |\,|3|-|z|\,|=3-1=2>0,
logo o denominador não se anula sobre o contorno; não há singularidade em nenhum ponto de C.

Passo 5

Lembrar o que o teorema de Cauchy-Goursat exige (mini-aula curta e prática): se uma função é holomorfa (analítica) em uma região simplesmente conexa que contém um contorno fechado simples e o interior desse contorno, e é analítica também sobre o próprio contorno, então a integral ao longo desse contorno é zero. Explicando termos importantes de forma simples:
  • “Analítica” significa que a função tem derivada complexa em todos os pontos da região considerada; para funções racionais como a nossa, isso falha apenas nos pontos onde o denominador é zero.
  • “Região simplesmente conexa” significa, intuivamente, que a região interior ao contorno não tem buracos — o disco interior a |z|=1 é um exemplo clássico de região simplesmente conexa.
  • Precisamos, portanto, que não haja singularidades nem no interior nem no contorno.

Passo 6

Aplicar as verificações ao nosso caso: a única singularidade de f está em z=3, que fica fora do disco \{z:|z|<1\}, e não há pontos singulares sobre |z|=1 (como mostramos com a desigualdade |z-3|\ge2 para |z|=1). Logo f é analítica em todo o disco fechado \{z:|z|\le1\}, que é simplesmente conexo. Portanto estão satisfeitas as hipóteses do teorema de Cauchy-Goursat e podemos concluir que
\int_{C} f(z)\,dz=0.
Como observação alternativa (útil para prova/checagem): pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2\pi i vezes a soma dos resíduos no interior; aqui não há resíduos dentro de |z|<1, logo a soma é zero e a integral também é zero.

Resposta

\;0

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