Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário,
, a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar as possíveis singularidades da função
de modo a determinar se é possível aplicar o teorema de Cauchy-Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário
dado por
,
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras informações no enunciado (por exemplo orientação do contorno), então trabalharemos com a orientação positiva habitual.
Passo 2
Encontrar as singularidades de
. Singularidades ocorrem onde o denominador se anula, pois o numerador
é um polinômio inteiro (não causa problemas de divisão por zero). Resolve-se
Portanto a única singularidade da função é em
.
Passo 3
Classificar a singularidade em
. Como o denominador tem fator de primeira ordem
e esse fator não é cancelado pelo numerador (pois
em
vale
), temos uma singularidade de ordem 1 — isto é, um polo simples. Uma maneira prática de ver isso é calcular o limite
que é finito e não nulo, caracterizando um polo simples (e mostrando também que o resíduo em
é
).
Passo 4
Verificar a posição dessa singularidade em relação ao círculo unitário
. Para
temos
, logo
Isto mostra que a singularidade está fora do disco fechado limitado por
. Além disso, para qualquer ponto
no contorno
podemos estimar
logo o denominador não se anula sobre o contorno; não há singularidade em nenhum ponto de
.
Passo 5
Lembrar o que o teorema de Cauchy-Goursat exige (mini-aula curta e prática): se uma função é holomorfa (analítica) em uma região simplesmente conexa que contém um contorno fechado simples e o interior desse contorno, e é analítica também sobre o próprio contorno, então a integral ao longo desse contorno é zero. Explicando termos importantes de forma simples:
- “Analítica” significa que a função tem derivada complexa em todos os pontos da região considerada; para funções racionais como a nossa, isso falha apenas nos pontos onde o denominador é zero.
- “Região simplesmente conexa” significa, intuivamente, que a região interior ao contorno não tem buracos — o disco interior a
é um exemplo clássico de região simplesmente conexa. - Precisamos, portanto, que não haja singularidades nem no interior nem no contorno.
Passo 6
Aplicar as verificações ao nosso caso: a única singularidade de
está em
, que fica fora do disco
, e não há pontos singulares sobre
(como mostramos com a desigualdade
para
). Logo
é analítica em todo o disco fechado
, que é simplesmente conexo. Portanto estão satisfeitas as hipóteses do teorema de Cauchy-Goursat e podemos concluir que
Como observação alternativa (útil para prova/checagem): pelo teorema dos resíduos, a integral vale
vezes a soma dos resíduos no interior; aqui não há resíduos dentro de
, logo a soma é zero e a integral também é zero.