Dado o número complexo
, considere a função complexa
em cada um dos casos abaixo. Em cada caso, determine as partes real
e imaginária
de
. Mostre também se essas funções satisfazem às duas condições de Cauchy-Riemann.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
) e a função complexa
). As tarefas são:
- Determinar as partes real
e imaginária tais que ). - Verificar se
e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Dados que vamos usar (fornecidos pelo enunciado ou padrão):
) com . A função hiperbólica
pode ser manipulada pelas suas definições/exponenciais quando necessário. A resolução começa no próximo passo.
) com
Passo 2
Vamos escrever
em termos da definição exponencial e separar em parte real e imaginária. A definição é
para qualquer
. Tomando
, temos
e
Subtraindo e dividindo por
:
Reconhecendo as funções hiperbólicas clássicas
e
, obtemos
Portanto:
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy–Riemann. Lembrete rápido:
e
;
e
.
Cálculos passo a passo:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem, em pontos onde
e
têm derivadas parciais contínuas:
Substituindo o que calculamos:
portanto
é satisfeita identicamente. E
portanto
também é satisfeita identicamente.
Além disso, as funções
,
,
,
são suaves (têm derivadas contínuas de todas as ordens), logo
e
têm derivadas parciais contínuas em todo
. Pelo teorema de Cauchy–Riemann, isso garante que
é holomorfa em todo
(ou seja, as equações valem em todo lugar e
é diferenciável complexamente em todo
).
Passo 5
Exemplo numérico rápido só para fixar a intuição: para
,
Ou seja,
, consistente com as fórmulas acima.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo