Dado o número complexo z=x+i y, considere a função complexa f(z)=u(x, y)+i v(x, y) em cada um dos casos abaixo. Em cada caso, determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) de f(z). Mostre também se essas funções satisfazem às duas condições de Cauchy-Riemann.
f(z)=\operatorname{senh}(z)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \(z = x + i y) e a função complexa \(f(z) = \operatorname{senh}(z)). As tarefas são:
  • Determinar as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) tais que \(f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)).
  • Verificar se u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Dados que vamos usar (fornecidos pelo enunciado ou padrão):
\(z=x+iy) com x,y\in\mathbb{R}. A função hiperbólica \operatorname{senh} pode ser manipulada pelas suas definições/exponenciais quando necessário. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos escrever \operatorname{senh}(z) em termos da definição exponencial e separar em parte real e imaginária. A definição é
\operatorname{senh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}
para qualquer w. Tomando w=z=x+iy, temos
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)
e
e^{-z}=e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y-i\sin y).
Subtraindo e dividindo por 2:
\begin{aligned} \operatorname{senh}(z) &=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} \\\ &=\frac{e^{x}(\cos y+i\sin y)-e^{-x}(\cos y-i\sin y)}{2} \\\ &=\frac{(e^{x}-e^{-x})\cos y}{2}+i\frac{(e^{x}+e^{-x})\sin y}{2}. \end{aligned}
Reconhecendo as funções hiperbólicas clássicas \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} e \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}, obtemos
\operatorname{senh}(z)=\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y.
Portanto:
u(x,y)=\operatorname{sinh} x\cos y,\qquad v(x,y)=\operatorname{cosh} x\sin y.

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy–Riemann. Lembrete rápido: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x e \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x; \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y e \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
Cálculos passo a passo:
\begin{aligned} u_x(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sinh} x\cos y\big) =(\operatorname{cosh} x)\cos y,\\[4pt] u_y(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sinh} x\cos y\big) =\operatorname{sinh} x\cdot(-\sin y)=-\operatorname{sinh} x\sin y,\\[6pt] v_x(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{cosh} x\sin y\big) =(\operatorname{sinh} x)\sin y,\\[4pt] v_y(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{cosh} x\sin y\big) =\operatorname{cosh} x\cos y. \end{aligned}]

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem, em pontos onde u e v têm derivadas parciais contínuas:
u_x=v_y\quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Substituindo o que calculamos:
u_x=(\operatorname{cosh} x)\cos y,\qquad v_y=(\operatorname{cosh} x)\cos y,
portanto u_x=v_y é satisfeita identicamente. E
u_y=-\operatorname{sinh} x\sin y,\qquad -v_x=-(\operatorname{sinh} x\sin y)=-\operatorname{sinh} x\sin y,
portanto u_y=-v_x também é satisfeita identicamente.
Além disso, as funções \operatorname{sinh}, \operatorname{cosh}, \sin, \cos são suaves (têm derivadas contínuas de todas as ordens), logo u e v têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2. Pelo teorema de Cauchy–Riemann, isso garante que f é holomorfa em todo \mathbb{C} (ou seja, as equações valem em todo lugar e f é diferenciável complexamente em todo \mathbb{C}).

Passo 5

Exemplo numérico rápido só para fixar a intuição: para (x,y)=(1,\tfrac{\pi}{2}),
u(1,\tfrac{\pi}{2})=\operatorname{sinh}(1)\cos(\tfrac{\pi}{2})=\operatorname{sinh}(1)\cdot 0=0,
v(1,\tfrac{\pi}{2})=\operatorname{cosh}(1)\sin(\tfrac{\pi}{2})=\operatorname{cosh}(1)\cdot 1=\operatorname{cosh}(1).
Ou seja, \operatorname{senh}(1+i\pi/2)=i\operatorname{cosh}(1), consistente com as fórmulas acima.

Resposta

u(x,y)=\operatorname{sinh} x\cos y
v(x,y)=\operatorname{cosh} x\sin y
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 (logo f é holomorfa em todo \mathbb{C}).

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