Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário, quad|z|=1, a integral
\int_{C} f(z) d z=0 .
f(z)=\frac{z}{z+2}.

Passo 1

O enunciado pede que, para a função f abaixo, eu faça uma análise das possíveis singularidades e determine se é possível usar o teorema de Cauchy–Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário C=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\},
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
A função dada é
f(z)=\frac{z}{z+2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função racional f está escrita como uma fração com denominador z+2.
  • O contorno de integração é o círculo unitário |z|=1.
  • A questão exige verificar singularidades e decidir se o teorema de Cauchy–Goursat pode ser aplicado para afirmar que a integral é zero.

Passo 2

Identificar as singularidades de f.
Para uma função racional \dfrac{P(z)}{Q(z)} as singularidades isoladas ocorrem onde Q(z)=0. Aqui o denominador é z+2. Resolvo
z+2=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2.
Portanto, a única singularidade isolada de f no plano complexo é z=-2.
Comentário explicativo: isso é porque o numerador z é finito em z=-2 (vale -2) e só o zero do denominador pode provocar um ponto onde a função deixa de ser analítica.

Passo 3

Classificar a singularidade em z=-2.
Como z+2 tem zero simples em z=-2 (ou seja, é uma raiz de multiplicidade 1) e o numerador z não anula o denominador nesse ponto, trata-se de um pólo simples (pólo de ordem 1).
Explicação didática: um pólo simples significa que, perto de z_0, a função se comporta como \dfrac{\text{constante}}{z-z_0}+ termos analíticos. Para nossa função, podemos escrever localmente
f(z)=\frac{z}{z+2}=\frac{z}{(z-(-2))},
e como z em z=-2 não é zero, dá pólo simples.

Passo 4

Verificar a posição da singularidade em relação ao círculo unitário |z|=1.
Calculo a distância da singularidade à origem: |-2|=2. Como 2>1, o ponto z=-2 está fora do disco unitário fechado \{z\mid |z|\le 1\}.
Mais rigorosamente, posso mostrar que o denominador nunca é zero para pontos dentro (ou sobre) o círculo unitário: para qualquer z com |z|\le 1,
|z+2|\ge |2|-|z| = 2- |z| \ge 2-1 = 1 > 0,
onde usei a desigualdade triangular reversa |a+b|\ge ||a|-|b||. Assim, z+2\neq 0 em todo o disco |z|\le 1.
Comentário prático para a prova: esse uso da desigualdade triangular é uma forma rápida de garantir que o denominador não zera no interior ou na fronteira do círculo.

Passo 5

Concluir sobre a analiticidade de f em e dentro do contorno.
Como o único pólo está em z=-2 (fora do disco unitário) e z+2\neq 0 para |z|\le 1, a função f é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém o disco fechado \{z\mid |z|\le 1\}. Em palavras: f é analítica em todo o interior do contorno e também na própria curva C.
Explicação didática: “holomorfa” ou “analítica” significa que a função tem derivada complexa em todos os pontos da região considerada. Para aplicar Cauchy–Goursat, precisamos exatamente disso: a função ser holomorfa numa região simplesmente conexa que contém o contorno e seu interior.

Passo 6

Aplicar o teorema de Cauchy–Goursat e concluir a integral.
O teorema de Cauchy–Goursat diz que se uma função é holomorfa em um domínio simplesmente conexo que contém um caminho fechado C e seu interior, então a integral de linha dessa função ao longo de C é zero:
\text{Se } f \text{ é holomorfa em e dentro de } C,\quad \int_{C} f(z)\,dz = 0.é
Aqui já verifiquei que f é holomorfa no disco |z|\le 1 (domínio simplesmente conexo). Logo posso aplicar o teorema e concluir que
\int_{C} f(z)\,dz = 0.
Observação extra (opcional para a prova): outra maneira de ver o mesmo resultado seria usar o teorema dos resíduos—como não há singularidades dentro de C, a soma dos resíduos dentro é zero e, portanto, a integral é zero. Mas a aplicação direta de Cauchy–Goursat é mais simples aqui.

Resposta

\displaystyle 0

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