Para cada uma das funções abaixo, faça uma análise das possíveis singularidades, de forma a determina se é possível usar o teorema de Cauchy-Goursat para determinar que, sobre o círculo unitário,
, a integral
.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
abaixo, eu faça uma análise das possíveis singularidades e determine se é possível usar o teorema de Cauchy–Goursat para concluir que, sobre o círculo unitário
,
A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função racional
está escrita como uma fração com denominador . - O contorno de integração é o círculo unitário
. - A questão exige verificar singularidades e decidir se o teorema de Cauchy–Goursat pode ser aplicado para afirmar que a integral é zero.
Passo 2
Identificar as singularidades de
.
Para uma função racional as singularidades isoladas ocorrem onde
. Aqui o denominador é
. Resolvo
Para uma função racional
Portanto, a única singularidade isolada de
no plano complexo é
.
Comentário explicativo: isso é porque o numerador
é finito em
(vale
) e só o zero do denominador pode provocar um ponto onde a função deixa de ser analítica.
Passo 3
Classificar a singularidade em
.
Como tem zero simples em
(ou seja, é uma raiz de multiplicidade
) e o numerador
não anula o denominador nesse ponto, trata-se de um pólo simples (pólo de ordem
).
Como
Explicação didática: um pólo simples significa que, perto de
, a função se comporta como
termos analíticos. Para nossa função, podemos escrever localmente
e como
em
não é zero, dá pólo simples.
Passo 4
Verificar a posição da singularidade em relação ao círculo unitário
.
Calculo a distância da singularidade à origem: . Como
, o ponto
está fora do disco unitário fechado
.
Calculo a distância da singularidade à origem:
Mais rigorosamente, posso mostrar que o denominador nunca é zero para pontos dentro (ou sobre) o círculo unitário: para qualquer
com
,
onde usei a desigualdade triangular reversa
. Assim,
em todo o disco
.
Comentário prático para a prova: esse uso da desigualdade triangular é uma forma rápida de garantir que o denominador não zera no interior ou na fronteira do círculo.
Passo 5
Concluir sobre a analiticidade de
em e dentro do contorno.
Como o único pólo está em (fora do disco unitário) e
para
, a função
é holomorfa (analítica) em uma vizinhança aberta que contém o disco fechado
. Em palavras:
é analítica em todo o interior do contorno e também na própria curva
.
Como o único pólo está em
Explicação didática: “holomorfa” ou “analítica” significa que a função tem derivada complexa em todos os pontos da região considerada. Para aplicar Cauchy–Goursat, precisamos exatamente disso: a função ser holomorfa numa região simplesmente conexa que contém o contorno e seu interior.
Passo 6
Aplicar o teorema de Cauchy–Goursat e concluir a integral.
O teorema de Cauchy–Goursat diz que se uma função é holomorfa em um domínio simplesmente conexo que contém um caminho fechado e seu interior, então a integral de linha dessa função ao longo de
é zero:
O teorema de Cauchy–Goursat diz que se uma função é holomorfa em um domínio simplesmente conexo que contém um caminho fechado
Aqui já verifiquei que
é holomorfa no disco
(domínio simplesmente conexo). Logo posso aplicar o teorema e concluir que
Observação extra (opcional para a prova): outra maneira de ver o mesmo resultado seria usar o teorema dos resíduos—como não há singularidades dentro de
, a soma dos resíduos dentro é zero e, portanto, a integral é zero. Mas a aplicação direta de Cauchy–Goursat é mais simples aqui.