Dado o número complexo
, considere a função complexa
em cada um dos casos abaixo. Em cada caso, determine as partes real
e imaginária
de
. Mostre também se essas funções satisfazem às duas condições de Cauchy-Riemann.
.
Passo 1
O enunciado dá
e a função complexa
Pede-se:
- Encontrar as partes real
e imaginária de . - Verificar se
e satisfazem as condições de Cauchy–Riemann (CR).
Informações relevantes que já temos do enunciado: a função é a recíproca de
, e
foi escrito em coordenadas reais
. A resolução seguirá a partir disso.
Passo 2
Primeiro precisamos escrever
em termos de
e
. Usando a fórmula para
(que se obtém por identidade de soma e definindo
e
pelas exponenciais), temos:
Aqui eu chamei a parte real de
e a parte imaginária de
. Para fixar notação, defina
Então
Breve lembrete didático:
e
. Essas funções aparecem naturalmente ao separar exponenciais complexas em parte real e imaginária.
Passo 3
Agora calcule
. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
obtemos
Logo as partes real e imaginária são
Substituindo
e
,
Comentário prático: esse é o jeito padrão de separar a parte real e imaginária de um quociente complexo
: multiplicar pelo conjugado e separar o numerador real e imag.
Passo 4
Antes de verificar as condições de Cauchy–Riemann, observamos onde a função está definida: o denominador
não pode ser zero.
equivale a
. Resolvendo
obtemos as singularidades em
com
(esses são os zeros de
, e são pontos reais). Portanto verificaremos CR apenas em pontos onde
.
Passo 5
Para verificar as condições de Cauchy–Riemann precisamos dos parciais
. Primeiro calcule as derivadas parciais de
e
:
Note as relações úteis (que aparecem porque
é diferenciável):
Agora, com
e
, pelas regras do quociente temos (mostro a forma simbólica para não transformar em conta gigantesca):
onde
Passo 6
Agora verificamos explicitamente as equações de Cauchy–Riemann:
- Verificar
.
Usando as expressões acima, os numeradores (antes de dividir por
) são
Subtraindo e reorganizando obtemos
Mas já vimos que
e
, portanto
e
. Concluímos
, logo
sempre que
.
- Verificar
.
Analogamente, os numeradores são
Fazendo a mesma reorganização chegamos a
E novamente
e
, então
e
. Portanto
, ou seja
sempre que
.
Passo 7
Conclusão da verificação: as duas condições de Cauchy–Riemann
são satisfeitas em todos os pontos
tais que
, isto é, em todos os pontos onde
. Nos pontos onde
(os
), a função
não está definida, logo não faz sentido exigir CR ali.
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos onde