Dado o número complexo z=x+i y, considere a função complexa f(z)=u(x, y)+i v(x, y) em cada um dos casos abaixo. Em cada caso, determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) de f(z). Mostre também se essas funções satisfazem às duas condições de Cauchy-Riemann.
f(z)=\csc (z)=\frac{1}{\operatorname{sen}(z)}.

Passo 1

O enunciado dá z=x+i y e a função complexa
f(z)=\csc(z)=\frac{1}{\sin(z)}.
Pede-se:
  • Encontrar as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) de f(z).
  • Verificar se u e v satisfazem as condições de Cauchy–Riemann (CR).
Informações relevantes que já temos do enunciado: a função é a recíproca de \sin(z), e z foi escrito em coordenadas reais x,y. A resolução seguirá a partir disso.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever \sin(z) em termos de x e y. Usando a fórmula para \sin(x+iy) (que se obtém por identidade de soma e definindo \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} pelas exponenciais), temos:
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Aqui eu chamei a parte real de \sin x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária de \cos x\operatorname{sinh} y. Para fixar notação, defina
A(x,y)=\sin x\operatorname{cosh} y,\qquad B(x,y)=\cos x\operatorname{sinh} y.
Então
\sin z = A + iB.
Breve lembrete didático: \operatorname{cosh} y=(e^{y}+e^{-y})/2 e \operatorname{sinh} y=(e^{y}-e^{-y})/2. Essas funções aparecem naturalmente ao separar exponenciais complexas em parte real e imaginária.

Passo 3

Agora calcule \csc z = 1/(\sin z)=1/(A+iB). Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado A-iB obtemos
\csc z = \frac{A-iB}{A^{2}+B^{2}}.
Logo as partes real e imaginária são
u(x,y)=\frac{A(x,y)}{A(x,y)^{2}+B(x,y)^{2}},\qquad v(x,y)=-\frac{B(x,y)}{A(x,y)^{2}+B(x,y)^{2}}.
Substituindo A e B,
u(x,y)=\frac{\sin x\operatorname{cosh} y}{\big(\sin x\operatorname{cosh} y\big)^{2}+\big(\cos x\operatorname{sinh} y\big)^{2}},
v(x,y)=-\frac{\cos x\operatorname{sinh} y}{\big(\sin x\operatorname{cosh} y\big)^{2}+\big(\cos x\operatorname{sinh} y\big)^{2}}.
Comentário prático: esse é o jeito padrão de separar a parte real e imaginária de um quociente complexo 1/(A+iB): multiplicar pelo conjugado e separar o numerador real e imag.

Passo 4

Antes de verificar as condições de Cauchy–Riemann, observamos onde a função está definida: o denominador
D(x,y)=A^{2}+B^{2}=(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}
não pode ser zero. D=0 equivale a \sin z=0. Resolvendo \sin z=0 obtemos as singularidades em z=n\pi com n\in\mathbb{Z} (esses são os zeros de \sin z, e são pontos reais). Portanto verificaremos CR apenas em pontos onde D\neq 0.

Passo 5

Para verificar as condições de Cauchy–Riemann precisamos dos parciais u_x,u_y,v_x,v_y. Primeiro calcule as derivadas parciais de A e B:
A_x=\cos x\operatorname{cosh} y,\qquad A_y=\sin x\operatorname{sinh} y,
B_x=-\sin x\operatorname{sinh} y,\qquad B_y=\cos x\operatorname{cosh} y.
Note as relações úteis (que aparecem porque \sin z é diferenciável):
A_x=B_y,\qquad A_y=-B_x.
Agora, com u=\dfrac{A}{D} e v=-\dfrac{B}{D}, pelas regras do quociente temos (mostro a forma simbólica para não transformar em conta gigantesca):
u_x=\frac{A_x D - A D_x}{D^{2}},\qquad u_y=\frac{A_y D - A D_y}{D^{2}},
v_x=-\frac{B_x D - B D_x}{D^{2}},\qquad v_y=-\frac{B_y D - B D_y}{D^{2}},
onde
D_x=2(A A_x + B B_x),\qquad D_y=2(A A_y + B B_y).

Passo 6

Agora verificamos explicitamente as equações de Cauchy–Riemann:
  1. Verificar u_x = v_y.
Usando as expressões acima, os numeradores (antes de dividir por D^{2}) são
N_{u_x}=A_x D - A D_x,
N_{v_y}=-B_y D + B D_y = B D_y - B_y D.
Subtraindo e reorganizando obtemos
N_{u_x}-N_{v_y}=(B^{2}-A^{2})(A_x-B_y)-2AB(B_x+A_y).
Mas já vimos que A_x=B_y e B_x=-A_y, portanto A_x-B_y=0 e B_x+A_y=0. Concluímos N_{u_x}-N_{v_y}=0, logo u_x=v_y sempre que D\neq 0.
  1. Verificar u_y = -v_x.
Analogamente, os numeradores são
N_{u_y}=A_y D - A D_y,
N_{-v_x}=B_x D - B D_x.
Fazendo a mesma reorganização chegamos a
N_{u_y}-N_{-v_x}=(B^{2}-A^{2})(A_y+B_x)-2AB(B_y-A_x).
E novamente A_y=-B_x e B_y=A_x, então A_y+B_x=0 e B_y-A_x=0. Portanto N_{u_y}-N_{-v_x}=0, ou seja u_y=-v_x sempre que D\neq 0.

Passo 7

Conclusão da verificação: as duas condições de Cauchy–Riemann
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x
são satisfeitas em todos os pontos (x,y) tais que D(x,y)\neq 0, isto é, em todos os pontos onde \sin z\neq 0. Nos pontos onde \sin z=0 (os z=n\pi), a função \csc z não está definida, logo não faz sentido exigir CR ali.

Resposta

u(x,y)=\dfrac{\sin x\operatorname{cosh} y}{(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}}\n
v(x,y)=-\dfrac{\cos x\operatorname{sinh} y}{(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}}\n
As equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos onde \sin z\neq 0 (isto é, para z\neq n\pi, n\in\mathbb{Z}).

Exercícios relacionados