Para cada uma das funções abaixo, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa ((a) y=x^2
(b) y=x^2-2 x+1
© y=2 x^2-6 x-10
(d) y=e^x.

Passo 1

Resumo do enunciado e teoria usada: temos quatro funções (a) y=x^2, (b) y=x^2-2x+1, © y=2x^2-6x-10 e (d) y=e^x. Para cada uma precisamos garantir que a função seja bijetora (um-para-um e sobre), o que às vezes exige restringir domínio e contradomínio; depois, achamos a inversa resolvendo y=f(x) para x e trocando x por y (e vice-versa).

Passo 2

Para (a) y=x^2: como x^2 não é injetora em R, restringimos o domínio à parte crescente [0,infty), ficando imagem [0,infty). Resolvendo
y = x^2 Longrightarrow x = pmraizy
Na rama x>=0 escolhemos x=raizy. Então a inversa é f^-1(y)=raizy.

Passo 3

Para (b) y = x^2 -2x +1 = (x-1)^2: parábola com vértice em x=1. Restrição x>=1 garante injeção, imagem [0,infty). Resolvendo
y = (x-1)^2 Longrightarrow x-1 = pmraizy
Com x>=1 tomamos x-1=raizy, logo f^-1(y)=1+raizy.

Passo 4

Para © y=2x^2-6x-10: completamos o quadrado,
y = 2l(x^2-3xr)-10 = 2l((x-tfrac32)^2-tfrac94r)-10 = 2(x-tfrac32)^2 - tfrac292
O vértice está em x=3/2 com valor mínimo -29/2). Restrinjimos x>=3/2, imagem [-29/2,infty). Resolvendo
y + tfrac292 = 2(x-tfrac32)^2 Longrightarrow x-tfrac32 = pmraiztfracy+29/22
Com x>=3/2 tomamos o sinal positivo e obtemos
f^-1(y)=tfrac32 + raiztfracy+29/22 = tfrac32 + tfrac12raiz2y+29

Passo 5

Para (d) y=e^x: já é estritamente crescente de R em (0,infty), logo bijetora. A inversa é a função logaritmo natural,
f^-1(y)=ln(y)

Resposta

a) Dom =[0,infty), Cod =[0,infty), f^-1(x)=raizx.
b) Dom =[1,infty), Cod =[0,infty), f^-1(x)=1+raizx.
c) Dom =[3/2,infty), Cod =[-29/2,infty), f^-1(x)=tfrac32+tfrac12raiz2x+29.
d) Dom = R, Cod =(0,infty), f^-1(x)=ln(x).

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