Verifique se são periódicas e determine o período de cada uma das funções abaixo:
(a) y=sen(3 x);
(b) y=sen(x3);
© y=3 cos (2 x);
(d) tg(x2);
(e) y=1+|sen(2 x)|;
(f) y=cotg(x+pi4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função é periódica e, se for, determinar o menor período. O conteúdo envolve propriedades de periodicidade das funções trigonométricas básicas ( sin, cos, , ) e como mudanças no argumento (fator multiplicativo ou valor absoluto) afetam o período.

Passo 2

Para y=sin(3x), lembramos que sin(θ) tem período . Queremos 3(x+T)=3x+2π, então
3T=2π Longrightarrow T=2π3

Passo 3

Para y=sinl(tfracx3r), escrevemos k=tfrac13 no argumento sin(kx). O período é
T=2πk=2π1/3=6π

Passo 4

No caso y=3cos(2x), o fator 3 só altera a amplitude, não o período. Para cos(2x) com k=2,
T=2π2=π

Passo 5

Para , a tangente tem período y=tgl(tfracx2r), e para vale π. Aqui tg(kx),
T=pi/k

Passo 6

Em y=1+|sin(2x)|, sin(2x) tem período π, mas o valor absoluto “zera” a diferença de sinal após metade desse período, pois |sin(θ+π)|=| -sin(θ)|=|sin(θ)|. Logo o período passa a ser
T=π2

Passo 7

Para , a cotangente tem período y=cotgl(x+tfracπ4r) e a translação horizontal não muda esse valor. Então
π

Resposta

(a) Periódica, período tfrac2pi3. (b) Periódica, período 6pi. © Periódica, período pi. (d) Periódica, período 2pi. (e) Periódica, período tfracpi2. (f) Periódica, período pi.

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