Tem-se 3 urnas inicialmente vazias. Escolhe-se uma delas ao acaso com igual probabilidade (1/3 para cada). Em seguida, coloca-se uma bola dentro da urna escolhida. Repete-se o processo até que uma mesma urna tenha duas bolas. Qual a probabilidade de que quando o processo termine, a quantidade total de bolas dentro de todas as urnas seja igual a 2?

Passo 1

Então, temos 3 urnas vazias e, a cada passo, escolhemos uma urna de forma igualitária (cada uma tem 1/3 de chance de ser escolhida). Colocamos uma bola na urna escolhida repetidamente até que uma urna tenha duas bolas. A questão pede para saber qual é a probabilidade de que, quando isso acontecer, o total de bolas em todas as urnas seja exatamente 2. Vamos usar conceitos básicos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no primeiro passo do processo. Inicialmente, todas as urnas estão vazias. Quando colocamos a primeira bola, escolhemos qualquer uma das 3 urnas com igual probabilidade. Após essa primeira colocação, teremos uma urna com uma bola e duas urnas vazias.

Passo 3

No segundo passo, novamente escolhemos uma urna para colocar a segunda bola. Aqui temos duas possibilidades:
  1. Escolher a mesma urna que já tem uma bola.
  2. Escolher uma das urnas que ainda está vazia.
A probabilidade de escolher a mesma urna que já tem uma bola é de $ \frac{1}{3} $, já que há 3 urnas no total. Se isso acontecer, teremos uma urna com duas bolas e as outras duas urnas vazias. O processo termina aqui, e o total de bolas será 2.

Passo 4

A outra possibilidade é escolher uma urna diferente, o que também tem uma probabilidade de $ \frac{2}{3} $. Nesse caso, teremos duas urnas com uma bola cada e uma urna vazia. O processo continua para o próximo passo.

Passo 5

No terceiro passo, novamente escolhemos uma urna para colocar a terceira bola. Agora, temos duas urnas com uma bola cada e uma urna vazia. A probabilidade de escolher uma das urnas que já tem uma bola é de $ \frac{2}{3} $. Se isso acontecer, aquela urna receberá a segunda bola, o processo termina e o total de bolas será 3.
A única outra opção seria escolher a urna vazia, mas isso não termina o processo, pois nenhuma urna teria duas bolas ainda.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade total de terminar o processo com exatamente 2 bolas no total. Isso só acontece se, no segundo passo, escolhermos a mesma urna que já tem uma bola, o que tem uma probabilidade de $ \frac{1}{3} $.

Resposta

A probabilidade de que o total de bolas seja igual a 2 quando o processo termina é $ \frac{1}{3} $.

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