De quantos modos 12 crianças podem ocupar seis bancos, com dois lugares cada, em uma roda gigante?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos 12 crianças que precisam sentar em 6 bancos, e cada banco tem 2 lugares, em uma roda gigante. O conteúdo que vamos usar aqui é de combinações e permutações, especificamente para distribuir objetos (crianças) distintos em grupos (bancos) com posições internas (as duas cadeiras de cada banco). Para resolver, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas crianças nos bancos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no total de maneiras que 12 crianças podem ser ordenadas. Isso é dado por 12 fatorial, representado como 12!, que significa 12 times 11 times 10 times dots times 1.

Passo 3

No entanto, como cada banco tem 2 lugares e a ordem das crianças dentro de cada banco não importa (ou seja, quem fica à esquerda ou à direita no banco não muda a configuração geral), precisamos ajustar nosso cálculo. Para cada banco, existem 2! maneiras de organizar as duas crianças, mas essas devem ser consideradas como a mesma disposição.

Passo 4

Como temos 6 bancos, e para cada banco existem 2! arranjos idênticos, devemos dividir o total inicial por 2! multiplicado por ele mesmo 6 vezes, ou seja, por (2!)^6.

Passo 5

Portanto, a fórmula para calcular o número de maneiras é:
12!(2!)^6
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Calculando 12!:
12! = 479001600

Passo 7

Calculando (2!)^6:
2! = 2 (2!)^6 = 2^6 = 64

Passo 8

Dividindo os dois resultados:
47900160064 = 7484400

Resposta

As 12 crianças podem ocupar os seis bancos de 7.484.400 modos diferentes.

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