Exercício 5. Considere a Função Degrau dada por
u(t-a)= 0, & se ta
Mostre que
mathscrL[f(t-a) u(t-a)]=e^-a s mathscrL[f(t)]

Passo 1

Vamos calcular a transformada de Laplace de f(t-a)u(t-a) e mostrar que ela equivale a e^-asmathscrL[f(t)]. O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função g(t) é:
mathscrL[g(t)] = integral0^infty g(t),e^-st,dt
Substituindo g(t)=f(t-a)u(t-a) obtemos a integral correspondente.

Passo 3

Pela definição da função degrau u(t-a), ela vale zero quando t e vale um quando t>a. Logo, dentro da integral o integrando só contribui a partir de t=a. Assim, podemos reescrever:
mathscrL[f(t-a)u(t-a)] = integrala^infty f(t-a),e^-st,dt

Passo 4

Agora fazemos a mudança de variável tau = t - a. Então t = tau + a, quando t=a temos tau=0 e quando ttoinfty temos tautoinfty. Substituindo na integral:
mathscrL[f(t-a)u(t-a)] = integral0^infty f(tau),e^-s(tau+a),dtau = e^-sa integral0^infty f(tau),e^-stau,dtau
Aqui o fator e^-sa é constante em relação a tau e sai da integral.

Passo 5

Reconhecendo que
integral0^infty f(tau),e^-stau,dtau = mathscrL[f(t)],
chegamos à propriedade de deslocamento no tempo:
mathscrL[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as} ; \mathscrL[f(t)],

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