Exercício 5. Considere a Função Degrau dada por
Mostre que
Passo 1
Vamos calcular a transformada de Laplace de
e mostrar que ela equivale a
. O conteúdo aqui é a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace de uma função
é:
Substituindo
obtemos a integral correspondente.
Passo 3
Pela definição da função degrau
, ela vale zero quando
e vale um quando
. Logo, dentro da integral o integrando só contribui a partir de
. Assim, podemos reescrever:
Passo 4
Agora fazemos a mudança de variável
. Então
, quando
temos
e quando
temos
. Substituindo na integral:
Aqui o fator
é constante em relação a
e sai da integral.
Passo 5
Reconhecendo que
chegamos à propriedade de deslocamento no tempo:
mathscrL[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as} ; \mathscrL[f(t)],
mathscrL[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as} ; \mathscrL[f(t)],