Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida por
. A pergunta é pra gente verificar duas coisas sobre essa função:
- Injetora: Será que cada valor de
gera um valor único de ? - Sobrejetora: Será que todo valor possível de
está sendo atingido?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significa ser injetora e sobrejetora e como aplicar essas definições nessa função específica.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função é injetora. Uma função é injetora se, para cada par de valores diferentes de
, os resultados
também forem diferentes. Em outras palavras, se
implica que
.
Vamos supor que
:
Agora, simplificando essa equação:
Como chegamos a
, isso confirma que a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor
no conjunto alvo (
nesse caso), existe pelo menos um
no domínio tal que
.
Para mostrar isso, vamos resolver a equação
:
Resolvendo para
:
Isso mostra que para qualquer
escolhido, sempre existe um
correspondente que satisfaz
. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
é tanto injetora quanto sobrejetora.