Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(a) f: R R, f(x)=-3 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida por . A pergunta é pra gente verificar duas coisas sobre essa função:
  1. Injetora: Será que cada valor de gera um valor único de ?
  2. Sobrejetora: Será que todo valor possível de está sendo atingido?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significa ser injetora e sobrejetora e como aplicar essas definições nessa função específica.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função é injetora. Uma função é injetora se, para cada par de valores diferentes de -3a + 1 = -3b + 1 , os resultados -3a + 1 = -3b + 1 -3a = -3b a = b também forem diferentes. Em outras palavras, se implica que .
Vamos supor que :
Agora, simplificando essa equação:
Como chegamos a , isso confirma que a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor -3x + 1 = y no conjunto alvo ( -3x = y - 1 x = 1 - y3 nesse caso), existe pelo menos um no domínio tal que .
Para mostrar isso, vamos resolver a equação :
Resolvendo para :
Isso mostra que para qualquer escolhido, sempre existe um correspondente que satisfaz . Portanto, a função é sobrejetora.

Resposta

A função é tanto injetora quanto sobrejetora.

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