Exercício 7. Utilizando convolução, encontre as inversas.
240(s^2+1)(s^2+25)

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a transformada inversa de
240(s^2+1)(s^2+25)
usando a propriedade da convolução. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace e o teorema da convolução, que diz que o produto de duas transformadas no domínio s corresponde à convolução de suas antitransformadas no domínio do tempo.

Passo 2

Identificamos as funções separadas:
F1(s)=1s^2+1 e F2(s)=1s^2+25.
Queremos então achar (f(t)=\mathcal{L}^{-1}{240,F_1(s)F_2(s)}.

Passo 3

Do catálogo de transformadas, sabemos que
L^-1l1s^2+a^2r=1asin(at)
Logo, L^-1F1(s)=sin(t) e L^-1F2(s)=15sin(5t).

Passo 4

Pela propriedade da convolução:
L^-1F1(s)F2(s)=(f1*f2)(t)=integral0^t f1(tau),f2(t-tau),dtau
Portanto,
f(t)=240,(f1*f2)(t) =240integral0^t sin(tau),15sinl(5(t-tau)r),dtau =48integral0^t sin(tau)sinl(5(t-tau)r),dtau

Passo 5

Substituindo na integral e usando a identidade trigonométrica
sinalpha,sinbeta=tfrac12l[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)r],
com alpha=tau e beta=5(t-tau), obtemos
f(t)=48integral0^t tfrac12l[cos(6tau-5t)-cos(5t-4tau)r]dtau =24integral0^tl[cos(6tau-5t)-cos(5t-4tau)r]dtau

Passo 6

Agora separamos a integral e calculamos cada parte trocando de variável:
integral0^tcos(6tau-5t),dtau =16[sin(6tau-5t)]0^t =16l(sin(t)-sin(-5t)r) =16[sin(t)+sin(5t)],
integral0^tcos(5t-4tau),dtau =-14[sin(5t-4tau)]0^t =14l(sin(5t)-sin(t)r)
Substituindo de volta:
f(t)=24l[tfrac16(sin(t)+sin(5t))-tfrac14(sin(5t)-sin(t))r] =10sin(t)-2sin(5t)

Resposta

10\sin(t)-2\sin(5t)

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