Exercício 7. Utilizando convolução, encontre as inversas.
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar a transformada inversa de
usando a propriedade da convolução. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace e o teorema da convolução, que diz que o produto de duas transformadas no domínio
corresponde à convolução de suas antitransformadas no domínio do tempo.
Passo 2
Identificamos as funções separadas:
e
.
Queremos então achar (f(t)=\mathcal{L}^{-1}{240,F_1(s)F_2(s)}.
Queremos então achar (f(t)=\mathcal{L}^{-1}{240,F_1(s)F_2(s)}.
Passo 3
Do catálogo de transformadas, sabemos que
Logo,
e
.
Passo 4
Pela propriedade da convolução:
Portanto,
Passo 5
Substituindo na integral e usando a identidade trigonométrica
com
e
, obtemos
Passo 6
Agora separamos a integral e calculamos cada parte trocando de variável:
Substituindo de volta:
Resposta
10\sin(t)-2\sin(5t)