Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(f)
.
(f)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: temos a função
definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora (ou seja, se cada entrada diferente leva a saídas diferentes) e (ii) se ela é sobrejetora (ou seja, se todo número real é o quadrado de algum número natural). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
. No nosso caso, temos
. Observando os números naturais (
), que são
, cada número ao quadrado é único. Por exemplo,
,
,
, e assim por diante. Não existem dois números naturais diferentes que, ao serem elevados ao quadrado, resultem no mesmo número. Portanto,
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento
no conjunto de chegada (
), existe pelo menos um elemento
no domínio (
) tal que
. No nosso caso, queremos saber se todo número real pode ser expresso como o quadrado de algum número natural. Pense bem: por exemplo, o número
não é o quadrado de nenhum número natural, já que
e
, não tem um número natural que ao quadrado dê exatamente
. Além disso, números negativos e irracionais também não podem ser obtidos dessa forma. Portanto,
não é sobrejetora.
Resposta
(i) A função
é injetora.
(ii) A função não é sobrejetora.
(ii) A função