Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(f) f: N R, f(x)=x^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: temos a função definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora (ou seja, se cada entrada diferente leva a saídas diferentes) e (ii) se ela é sobrejetora (ou seja, se todo número real é o quadrado de algum número natural). Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . No nosso caso, temos . Observando os números naturais ( ), que são , cada número ao quadrado é único. Por exemplo, , , , e assim por diante. Não existem dois números naturais diferentes que, ao serem elevados ao quadrado, resultem no mesmo número. Portanto, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no conjunto de chegada ( ), existe pelo menos um elemento no domínio ( ) tal que . No nosso caso, queremos saber se todo número real pode ser expresso como o quadrado de algum número natural. Pense bem: por exemplo, o número não é o quadrado de nenhum número natural, já que e , não tem um número natural que ao quadrado dê exatamente . Além disso, números negativos e irracionais também não podem ser obtidos dessa forma. Portanto, não é sobrejetora.

Resposta

(i) A função é injetora.
(ii) A função não é sobrejetora.

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