Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(j) f: R [-1, infty), f(x)=x^2-1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para analisarmos a função , definida por . O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções injetoras e sobrejetoras. Para resolver, precisamos entender o que significa cada uma dessas propriedades e depois aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função a^2 - 1 = b^2 - 1 é injetora. Uma função é injetora se, sempre que a^2 = b^2 , então necessariamente f(2) = 2^2 - 1 = 3 . Em outras palavras, cada valor no contradomínio é mapeado por um único valor do domínio.
Vamos testar isso com a nossa função:
Suponha que f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 :
Simplificando:
Isso implica que ou . Portanto, se for diferente de mas , teremos . Por exemplo:
Aqui, mas . Isso mostra que a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função x^2 - 1 = y é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo x^2 = y + 1 no contradomínio x = raizy + 1 ou x = -raizy + 1 , existe pelo menos um no domínio tal que .
Para testar isso, vamos resolver a equação :
Para que seja real, precisamos que , ou seja, . Isso está de acordo com o contradomínio dado . Portanto, para qualquer , existem valores de que satisfazem , o que significa que a função é sobrejetora.

Resposta

(i) A função não é injetora.
(ii) A função é sobrejetora.

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