Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(j)
.
(j)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para analisarmos a função
, definida por
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções injetoras e sobrejetoras. Para resolver, precisamos entender o que significa cada uma dessas propriedades e depois aplicar esses conceitos à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, cada valor no contradomínio é mapeado por um único valor do domínio.
Vamos testar isso com a nossa função:
Suponha que :
Suponha que
Simplificando:
Isso implica que
ou
. Portanto, se
for diferente de
mas
, teremos
. Por exemplo:
Aqui,
mas
. Isso mostra que a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no contradomínio
, existe pelo menos um
no domínio
tal que
.
Para testar isso, vamos resolver a equação
:
Para que
seja real, precisamos que
, ou seja,
. Isso está de acordo com o contradomínio dado
. Portanto, para qualquer
, existem valores de
que satisfazem
, o que significa que a função é sobrejetora.
Resposta
(i) A função
não é injetora.
(ii) A função é sobrejetora.
(ii) A função