Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.
(m) f:[1, infty) [-5, infty), f(x)=x^2-2 x-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função e verificar se ela é injetora (ou seja, se cada valor de saída tem apenas uma entrada correspondente) e se é sobrejetora (todo valor no conjunto de chegada tem um correspondente no domínio). Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções injetoras e sobrejetoras e aplicar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Vamos verificar isso para nossa função quadrática.

Passo 3

A função é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Porém, nosso domínio é , o que significa que estamos considerando apenas a parte da parábola onde é maior ou igual a 1.

Passo 4

Vamos calcular a derivada para entender o comportamento da função. A derivada de é . Para , é sempre maior ou igual a 0, pois:
  • Em :
  • Para :
Isso significa que a função é não decrescente no intervalo , ou seja, ela está sempre aumentando ou permanece constante.

Passo 5

Como a função está sempre aumentando a partir de , isso implica que se , então necessariamente . Portanto, a função é injetora no domínio dado.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor no conjunto de chegada precisa ter um correspondente no domínio .

Passo 7

Vamos encontrar o valor mínimo da função. Substituindo f(1) = (1)^2 - 2(1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5 na função:
Como a função é crescente a partir de , ela atinge todos os valores a partir de até o infinito. Ou seja, para qualquer , existe um tal que .

Resposta

A função definida em é injetora e sobrejetora no conjunto de chegada .

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