Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
(m)
.
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
e verificar se ela é injetora (ou seja, se cada valor de saída tem apenas uma entrada correspondente) e se é sobrejetora (todo valor no conjunto de chegada tem um correspondente no domínio). Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções injetoras e sobrejetoras e aplicar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Vamos verificar isso para nossa função quadrática.
Passo 3
A função
é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo. Porém, nosso domínio é
, o que significa que estamos considerando apenas a parte da parábola onde
é maior ou igual a 1.
Passo 4
Vamos calcular a derivada para entender o comportamento da função. A derivada de
é
. Para
,
é sempre maior ou igual a 0, pois:
- Em
: - Para
:
Isso significa que a função é não decrescente no intervalo
, ou seja, ela está sempre aumentando ou permanece constante.
Passo 5
Como a função está sempre aumentando a partir de
, isso implica que se
, então necessariamente
. Portanto, a função é injetora no domínio dado.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor no conjunto de chegada
precisa ter um correspondente no domínio
.
Passo 7
Vamos encontrar o valor mínimo da função. Substituindo
na função:
Como a função é crescente a partir de
, ela atinge todos os valores a partir de
até o infinito. Ou seja, para qualquer
, existe um
tal que
.
Resposta
A função
definida em
é injetora e sobrejetora no conjunto de chegada
.