Para cada uma das funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo para as seguintes afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}_{+} definida por
f(x)=\left|x^{2}-1\right|.
Vou assumir que \mathbb{R}_{+}=[0,\infty) (se preferires a convenção (0,\infty), aviso quando for relevante).
As perguntas são:
(i) f é injetora?
(ii) f é sobrejetora?
Passo 2
Primeiro, lembrar as definições de forma clara e simples:
f é injetora (ou um a um) se sempre que x_1\neq x_2 em \mathbb{R}_{+} tivermos f(x_1)\neq f(x_2). Em outras palavras, valores iguais na imagem só podem vir do mesmo ponto do domínio.
f é sobrejetora (ou sobre) se para todo y\in\mathbb{R}_{+} existe pelo menos um x\in\mathbb{R}_{+} tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem é todo \mathbb{R}_{+}.
Vou usar essas definições para provar ou dar contra-exemplos.
Passo 3
Testando injetividade: a estratégia prática é tentar encontrar dois pontos distintos em \mathbb{R}_{+} que tenham a mesma imagem — um contra-exemplo mostra que f não é injetora.
Observe que, para y com 0<y\le 1, as equações
x^{2}-1=y\quad\text{e}\quad x^{2}-1=-y
têm soluções x=\sqrt{1+y} e x=\sqrt{1-y}, ambas não-negativas e, para y>0, distintas. Portanto para qualquer y\in(0,1] obtemos dois pontos distintos em \mathbb{R}_{+} com a mesma imagem y.
Vamos apresentar um contra-exemplo numérico simples e totalmente dentro de \mathbb{R}_{+}: escolher y=\tfrac{1}{2}. Então
Como \sqrt{\tfrac{3}{2}}\neq\sqrt{\tfrac{1}{2}}, isso mostra explicitamente que dois pontos distintos do domínio têm a mesma imagem. Logo f não é injetora.
(Observação: se alguém usar a convenção \mathbb{R}_{+}=[0,\infty), um contra-exemplo ainda mais simples é x=0 e x=\sqrt{2}, pois f(0)=1=f(\sqrt{2}). Mas o exemplo com y=\tfrac{1}{2} funciona mesmo se \mathbb{R}_{+}=(0,\infty).)
Passo 4
Conclusão parcial sobre injetividade: com o contra-exemplo acima concluímos que f não é injetora.
Passo 5
Testando sobrejetividade: para provar que f é sobrejetora, peço-me: dado um y\in\mathbb{R}_{+} (ou seja y\ge 0), consigo encontrar x\ge 0 tal que |x^{2}-1|=y ?
Resolvemos a equação |x^{2}-1|=y. Isso é equivalente a duas possibilidades:
x^{2}-1=y \quad\text{ou}\quad x^{2}-1=-y.
A primeira dá
x^{2}=1+y,
que sempre tem solução real não-negativa x=\sqrt{1+y} porque 1+y\ge 1\ge 0. Verificamos então
f\!\big(\sqrt{1+y}\big)=\big|\!(1+y)-1\big|=y.
Portanto para todo y\ge 0 existe pelo menos um x\in\mathbb{R}_{+}, concretamente x=\sqrt{1+y}, com imagem y. Não precisamos nem recorrer à segunda possibilidade — a primeira já garante a existência de pré-imagem para qualquer y\ge0.
Passo 6
Conclusão sobre sobrejetividade: como para todo y\in\mathbb{R}_{+} encontrei explicitamente x=\sqrt{1+y}\in\mathbb{R}_{+} com f(x)=y, segue que f é sobrejetora.
Resposta
(i) Não. f não é injetora (por exemplo f\!\big(\sqrt{3/2}\big)=f\!\big(\sqrt{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}, com \sqrt{3/2}\neq\sqrt{1/2}).
(ii) Sim. f é sobrejetora (para qualquer y\ge 0, x=\sqrt{1+y}\ge0 satisfaz f(x)=y).