Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{x, y, z, w\}. Exiba, se possível:
f: B \rightarrow A sobrejetora mas não injetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{a,b,c\} e B=\{x,y,z,w\}.
A tarefa é exibir (isto é, apresentar explicitamente) uma função
f: B \rightarrow A
que seja sobrejetora (cada elemento de A é imagem de pelo menos um elemento de B) mas que não seja injetora (existam dois elementos distintos de B que tenham a mesma imagem).

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (explicar) o que cada termo significa, bem mastigado:
  • Uma função f: B\to A é uma regra que, a cada elemento u\in B, associa exatamente um elemento f(u)\in A. Aqui B é o domínio e A é o contradomínio.
  • A função é injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Ou seja, f é injetora quando vale: se u_1,u_2\in B e u_1\neq u_2 então f(u_1)\neq f(u_2). Outra forma: nenhum valor em A é imagem de mais de um elemento de B.
  • A função é sobrejetora se toda v\in A é imagem de pelo menos um elemento de B. Formalmente: para todo v\in A existe u\in B tal que f(u)=v.

Passo 3

Observação útil (muito prática na prova): |A|=3 e |B|=4. Como o domínio B tem mais elementos que o contradomínio A, qualquer função f:B\to A não pode ser injetora (princípio da casa dos pombos): pelo menos dois elementos de B terão que compartilhar a mesma imagem em A. Por outro lado, é perfeitamente possível construir uma função que use as três imagens de A (tornando-a sobrejetora) e, ao mesmo tempo, repita alguma imagem (tornando-a não injetora). Então a existência pedida é possível.

Passo 4

Agora vou construir explicitamente uma função f. Uma escolha simples e direta é definir:
f(x)=a,
f(y)=b,
f(z)=c,
f(w)=a.
Isto é, tanto x quanto w vão para a, enquanto y vai para b e z vai para c.

Passo 5

Vou verificar, passo a passo, que essa f é sobrejetora.
Para ser sobrejetora precisamos checar que cada elemento de A aparece como imagem de algum elemento de B.
  • a é imagem de x (porque f(x)=a) e também de w (porque f(w)=a).
  • b é imagem de y (porque f(y)=b).
  • c é imagem de z (porque f(z)=c).
    Como a,b,c são todas imagens de elementos de B, a imagem de f é exatamente A. Logo f é sobrejetora.

Passo 6

Agora verifico que f não é injetora.
Basta encontrar dois elementos diferentes em B que tenham a mesma imagem. Aqui x e w são distintos (pois x\neq w em B) e
f(x)=a=f(w).
Portanto existem dois elementos distintos de B com a mesma imagem, o que mostra que f não é injetora.

Passo 7

Resumo amigo-encorajador: construí uma função simples que cobre todos os elementos de A (surjetiva) e que repete uma imagem (não injetiva). Esse tipo de construção é a primeira coisa que você tenta numa prova quando |\text{domínio}|>|\text{codomínio}|íí: distribui uma imagem distinta para alguns elementos até cobrir o contradomínio, e deixa pelo menos duas entradas com a mesma imagem para quebrar a injetividade.

Resposta

f(x)=a,\; f(y)=b,\; f(z)=c,\; f(w)=a

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