Sejam
e
. Exiba, se possível:
sobrejetora mas não injetora.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e
.
A tarefa é exibir (isto é, apresentar explicitamente) uma função
que seja sobrejetora (cada elemento de é imagem de pelo menos um elemento de
) mas que não seja injetora (existam dois elementos distintos de
que tenham a mesma imagem).
A tarefa é exibir (isto é, apresentar explicitamente) uma função
que seja sobrejetora (cada elemento de
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (explicar) o que cada termo significa, bem mastigado:
- Uma função
é uma regra que, a cada elemento , associa exatamente um elemento . Aqui é o domínio e é o contradomínio. - A função é injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Ou seja,
é injetora quando vale: se e então . Outra forma: nenhum valor em é imagem de mais de um elemento de . - A função é sobrejetora se toda
é imagem de pelo menos um elemento de . Formalmente: para todo existe tal que .
Passo 3
Observação útil (muito prática na prova):
e
. Como o domínio
tem mais elementos que o contradomínio
, qualquer função
não pode ser injetora (princípio da casa dos pombos): pelo menos dois elementos de
terão que compartilhar a mesma imagem em
. Por outro lado, é perfeitamente possível construir uma função que use as três imagens de
(tornando-a sobrejetora) e, ao mesmo tempo, repita alguma imagem (tornando-a não injetora). Então a existência pedida é possível.
Passo 4
Agora vou construir explicitamente uma função
. Uma escolha simples e direta é definir:
Isto é, tanto quanto
vão para
, enquanto
vai para
e
vai para
.
Isto é, tanto
Passo 5
Vou verificar, passo a passo, que essa
é sobrejetora.
Para ser sobrejetora precisamos checar que cada elemento de aparece como imagem de algum elemento de
.
Para ser sobrejetora precisamos checar que cada elemento de
-
é imagem de (porque ) e também de (porque ). -
é imagem de (porque ). -
é imagem de (porque ).
Comosão todas imagens de elementos de , a imagem de é exatamente . Logo é sobrejetora.
Passo 6
Agora verifico que
não é injetora.
Basta encontrar dois elementos diferentes em que tenham a mesma imagem. Aqui
e
são distintos (pois
em
) e
.
Portanto existem dois elementos distintos de com a mesma imagem, o que mostra que
não é injetora.
Basta encontrar dois elementos diferentes em
Portanto existem dois elementos distintos de
Passo 7
Resumo amigo-encorajador: construí uma função simples que cobre todos os elementos de
(surjetiva) e que repete uma imagem (não injetiva). Esse tipo de construção é a primeira coisa que você tenta numa prova quando
: distribui uma imagem distinta para alguns elementos até cobrir o contradomínio, e deixa pelo menos duas entradas com a mesma imagem para quebrar a injetividade.