\mathbf{1} Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{0,1\}. Determine todas as funções f: A \rightarrow B e analise cada uma delas em relação a ser injetora ou sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos A=\{a,b,c\} e B=\{0,1\}. Pede-se:
  • Determinar todas as funções f:A\to B.
  • Para cada uma, analisar se é injetora (um-para-um) e se é sobrejetora (sobre).
Informações relevantes que temos: o domínio A tem 3 elementos e o contradomínio B tem 2 elementos. Nada mais é dado.

Passo 2

O que é uma função f:A\to B? É uma regra que associa a cada elemento de A exatamente um elemento de B. Podemos descrever cada função especificando f(a), f(b) e f\text{(c)}. Assim cada função corresponde a um triplo \bigl(f(a),f(b),f\text{(c)}\bigr) com entradas em \{0,1\}.
Para contar/gerar todas as funções: para cada um dos 3 elementos de A 2 escolhas (0 ou 1), logo o número total de funções é
2^3=8.

Passo 3

Vou listar explicitamente as 8 funções. Denoto cada função por f_1,f_2,\dots,f_8 e mostro a imagem de cada elemento:
  • f_1:\; a\mapsto0,\; b\mapsto0,\; c\mapsto0 (triplo (0,0,0)).
  • f_2:\; a\mapsto0,\; b\mapsto0,\; c\mapsto1 (triplo (0,0,1)).
  • f_3:\; a\mapsto0,\; b\mapsto1,\; c\mapsto0 (triplo (0,1,0)).
  • f_4:\; a\mapsto0,\; b\mapsto1,\; c\mapsto1 (triplo (0,1,1)).
  • f_5:\; a\mapsto1,\; b\mapsto0,\; c\mapsto0 (triplo (1,0,0)).
  • f_6:\; a\mapsto1,\; b\mapsto0,\; c\mapsto1 (triplo (1,0,1)).
  • f_7:\; a\mapsto1,\; b\mapsto1,\; c\mapsto0 (triplo (1,1,0)).
  • f_8:\; a\mapsto1,\; b\mapsto1,\; c\mapsto1 (triplo (1,1,1)).

Passo 4

Definições precisas que vamos usar:
  • Injetora: f é injetora se, sempre que x,y\in A e x\neq y, então f(x)\neq f(y). Em outras palavras, elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes.
  • Sobrejetora: f é sobrejetora se, para todo y\in B, existe algum x\in A tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem de f é todo o conjunto B.

Passo 5

Análise de injetividade (argumento geral):
Como |A|=3 e |B|=2, por princípio conhecido (princípio da casa dos pombos) não pode existir uma função injetora A\to B: uma função injetora exigiria três imagens diferentes em B, mas B só tem dois elementos. Logo nenhuma das 8 funções é injetora.
Explicando com palavras: se f fosse injetora, f(a),f(b),f\text{(c)} seriam todos distintos; isso é impossível porque só há dois valores possíveis em B.

Passo 6

Análise de sobrejetividade (verificação por função):
Para ser sobrejetora, a imagem \mathrm{Im}(f)=\{f(a),f(b),f\text{(c)}\} deve ser igual a B=\{0,1\}, isto é, os valores 0 e 1 precisam aparecer pelo menos uma vez entre f(a),f(b),f\text{(c)}.
Agora verifique cada função:
  • f_1 tem imagem \{0\}. Não é sobrejetora.
  • f_2 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_3 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_4 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_5 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_6 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_7 tem imagem \{0,1\}. É sobrejetora.
  • f_8 tem imagem \{1\}. Não é sobrejetora.
Observação: as duas funções não sobrejetoras são exatamente as constantes (0,0,0) e (1,1,1). As outras seis funções têm ambas as imagens e, portanto, são sobrejetoras.

Passo 7

Conclusões finais e contagem:
  • Não há funções injetoras A\to B.
  • Há exatamente 6 funções sobrejetoras e 2 que não são sobrejetoras (as constantes).

Resposta

f_1:\; a\mapsto0,\; b\mapsto0,\; c\mapsto0 — não injetora; não sobrejetora
f_2:\; a\mapsto0,\; b\mapsto0,\; c\mapsto1 — não injetora; sobrejetora
f_3:\; a\mapsto0,\; b\mapsto1,\; c\mapsto0 — não injetora; sobrejetora
f_4:\; a\mapsto0,\; b\mapsto1,\; c\mapsto1 — não injetora; sobrejetora
f_5:\; a\mapsto1,\; b\mapsto0,\; c\mapsto0 — não injetora; sobrejetora
f_6:\; a\mapsto1,\; b\mapsto0,\; c\mapsto1 — não injetora; sobrejetora
f_7:\; a\mapsto1,\; b\mapsto1,\; c\mapsto0 — não injetora; sobrejetora
f_8:\; a\mapsto1,\; b\mapsto1,\; c\mapsto1 — não injetora; não sobrejetora

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