Sejam
e
. Determine todas as funções
e analise cada uma delas em relação a ser injetora ou sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e
. Pede-se:
- Determinar todas as funções
. - Para cada uma, analisar se é injetora (um-para-um) e se é sobrejetora (sobre).
Informações relevantes que temos: o domínio
tem
elementos e o contradomínio
tem
elementos. Nada mais é dado.
Passo 2
O que é uma função
? É uma regra que associa a cada elemento de
exatamente um elemento de
. Podemos descrever cada função especificando
,
e
. Assim cada função corresponde a um triplo
com entradas em
.
Para contar/gerar todas as funções: para cada um dos
elementos de
há
escolhas (0 ou 1), logo o número total de funções é
Passo 3
Vou listar explicitamente as
funções. Denoto cada função por
e mostro a imagem de cada elemento:
-
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ). -
(triplo ).
Passo 4
Definições precisas que vamos usar:
- Injetora:
é injetora se, sempre que e , então . Em outras palavras, elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes. - Sobrejetora:
é sobrejetora se, para todo , existe algum tal que . Ou seja, a imagem de é todo o conjunto .
Passo 5
Análise de injetividade (argumento geral):
Como e
, por princípio conhecido (princípio da casa dos pombos) não pode existir uma função injetora
: uma função injetora exigiria três imagens diferentes em
, mas
só tem dois elementos. Logo nenhuma das
funções é injetora.
Como
Explicando com palavras: se
fosse injetora,
seriam todos distintos; isso é impossível porque só há dois valores possíveis em
.
Passo 6
Análise de sobrejetividade (verificação por função):
Para ser sobrejetora, a imagem deve ser igual a
, isto é, os valores
e
precisam aparecer pelo menos uma vez entre
.
Para ser sobrejetora, a imagem
Agora verifique cada função:
-
tem imagem . Não é sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . É sobrejetora. -
tem imagem . Não é sobrejetora.
Observação: as duas funções não sobrejetoras são exatamente as constantes
e
. As outras seis funções têm ambas as imagens e, portanto, são sobrejetoras.
Passo 7
Conclusões finais e contagem:
- Não há funções injetoras
. - Há exatamente
funções sobrejetoras e que não são sobrejetoras (as constantes).