Para cada uma das funções abaixo:
- Verifique se as funções são sobrejetivas, injetivas ou bijetivas.
- Determine o domínio, imagem e contradomínio.
tal que
Passo 1
O enunciado pede para a função
verificar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva e determinar domínio, contradomínio e imagem. O conteúdo aqui é teoria de funções e definições de injeção e sobrejeção.
Passo 2
O domínio é o conjunto de partida informado no enunciado. Logo, o domínio é
O contradomínio também foi dado como
Passo 3
A imagem (ou alcance) é o conjunto de valores que
realmente atinge quando
varia em todo o domínio. Como
é sempre maior ou igual a zero, temos
Passo 4
Para checar injetividade, suponha
. Então
implica
. Isso mostra que podemos ter
e ainda
(por exemplo,
). Logo,
não é injetiva.
Passo 5
Para checar sobrejetividade, veja que valores negativos de
não têm pré‐imagem real, pois não há
tal que
. Portanto, nem todo elemento do contradomínio
é atingido. Logo,
não é sobrejetiva.
Passo 6
Como
não é injetiva e também não é sobrejetiva, ela não pode ser bijetiva (que exige ambas as propriedades simultâneas).
Resposta
Domínio:
Contradomínio:
Imagem:
Injetiva: não
Sobrejetiva: não
Bijetiva: não
Contradomínio:
Imagem:
Injetiva: não
Sobrejetiva: não
Bijetiva: não