Para cada uma das funções abaixo:
  • Verifique se as funções são sobrejetivas, injetivas ou bijetivas.
  • Determine o domínio, imagem e contradomínio.
    f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=x^{2}
verificar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva e determinar domínio, contradomínio e imagem. O conteúdo aqui é teoria de funções e definições de injeção e sobrejeção.

Passo 2

O domínio é o conjunto de partida informado no enunciado. Logo, o domínio é \mathbb{R}. O contradomínio também foi dado como \mathbb{R}.

Passo 3

A imagem (ou alcance) é o conjunto de valores que f(x) realmente atinge quando x varia em todo o domínio. Como x^{2} é sempre maior ou igual a zero, temos
\mathrm{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge0\}=[0,\infty).

Passo 4

Para checar injetividade, suponha f(x_{1})=f(x_{2}). Então
x_{1}^{2}=x_{2}^{2}
implica x_{1}=\pm x_{2}. Isso mostra que podemos ter x_{1}\neq x_{2} e ainda f(x_{1})=f(x_{2}) (por exemplo, f(1)=f(-1)). Logo, f não é injetiva.

Passo 5

Para checar sobrejetividade, veja que valores negativos de y não têm pré‐imagem real, pois não há x tal que x^{2}<0. Portanto, nem todo elemento do contradomínio \mathbb{R} é atingido. Logo, f não é sobrejetiva.

Passo 6

Como f não é injetiva e também não é sobrejetiva, ela não pode ser bijetiva (que exige ambas as propriedades simultâneas).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Contradomínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Injetiva: não
Sobrejetiva: não
Bijetiva: não

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