Derive as funções abaixo.
f(x)=\ln \ln \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\ln\ln x
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada três vezes: primeiro na função externa \ln(u), depois em u=\ln(v) e por fim em v=\ln x.

Passo 2

Começamos aplicando a regra da cadeia à função externa \ln(u). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\ln u\bigr)=\frac{1}{u}\,\frac{du}{dx}.
Aqui u=\ln\ln x, logo
f'(x) =\frac{1}{\ln\ln x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln\ln x\bigr).

Passo 3

Agora derivamos \ln\ln x. Usando novamente a regra da cadeia para \ln(v) com v=\ln x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln\ln x\bigr) =\frac{1}{\ln x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr).
Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{\ln\ln x}\,\frac{1}{\ln x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr).

Passo 4

Por fim, derivamos \ln x, cuja derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Substituindo, obtemos
f'(x) =\frac{1}{\ln\ln x}\,\frac{1}{\ln x}\,\frac{1}{x}.

Passo 5

Basta reorganizar o produto para a forma final:
f'(x)=\frac{1}{x\,\ln x\,\ln\ln x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\ln x\,\ln\ln x}.

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