Para cada uma das funções abaixo:
  • Verifique se as funções são sobrejetivas, injetivas ou bijetivas.
  • Determine o domínio, imagem e contradomínio.
    f:\{0,1,2,3\} \rightarrow \mathbb{N} tal que f(x)=x+2

Passo 1

O enunciado define a função
f:\{0,1,2,3\}\to\mathbb{N}
por
f(x)=x+2.
O conteúdo aqui é classificação de funções (injeção, sobrejeção e bijeção) e cálculo de domínio, contradomínio e imagem.

Passo 2

O domínio é dado no enunciado como
\{0,1,2,3\}.
O contradomínio também é dado: \mathbb{N}.

Passo 3

Para encontrar a imagem, calculamos f(x) em cada elemento do domínio:
f(0)=2,\quad f(1)=3,\quad f(2)=4,\quad f(3)=5.
Logo, a imagem de f é
\{2,3,4,5\}.

Passo 4

Para verificar se f é injetiva, note que se
f(x_1)=f(x_2)\implies x_1+2 = x_2+2\implies x_1=x_2.
Como valores distintos de x dão valores distintos de f(x), f é injetiva.

Passo 5

Para verificar se f é sobrejetiva, precisamos que todo n\in\mathbb{N} seja imagem de algum x\in\{0,1,2,3\}. Mas existem muitos naturais (por exemplo 1 ou 6) que não estão em \{2,3,4,5\}. Portanto, f não é sobrejetiva.

Passo 6

Como f é injetiva e não é sobrejetiva, concluímos que ela não é bijetiva.

Resposta

Domínio: \{0,1,2,3\}
Contradomínio: \mathbb{N}
Imagem: \{2,3,4,5\}
Injetiva: sim
Sobrejetiva: não
Bijetiva: não

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