Para cada uma das funções abaixo
, determine o domínio e as curvas de nivel. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede pra gente analisar a função $ z = f(x, y) = 1 - x - y $. A gente vai precisar descobrir o domínio dessa função, que basicamente mostra todos os valores que $ x $ e $ y $ podem assumir. Além disso, vamos identificar as curvas de nível, que são linhas onde a função mantém um valor constante. Pra isso, vamos usar conhecimentos de funções multivariáveis e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. O domínio é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ para os quais a função está definida. Como a função é uma combinação linear de $ x $ e $ y $, não tem restrições como raízes quadradas ou denominadores que possam ser zero. Portanto, o domínio é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar as curvas de nível. As curvas de nível são onde a função $ f(x, y) $ é constante, ou seja, $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante. Vamos igualar:
Podemos rearranjar para:
Isso mostra que as curvas de nível são retas no plano $ xy $, com inclinação -1 e intercepto $ 1 - c $ no eixo $ y $.
Passo 4
Vamos representar geometricamente o domínio e as curvas de nível. Como o domínio é todo o plano, não há restrições. Para as curvas de nível, cada valor de $ c $ gera uma reta diferente. Por exemplo:
- Se $ c = 0 $, temos $ x + y = 1 $
- Se $ c = 1 $, temos $ x + y = 0 $
- Se $ c = -1 $, temos $ x + y = 2 $
Essas retas são paralelas entre si, já que têm a mesma inclinação.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 - x - y $. Essa é uma superfície plana no espaço tridimensional. Ela é inclinada de forma que, conforme $ x $ ou $ y $ aumentam, $ z $ diminui. Cada curva de nível que desenhamos é uma interseção dessa superfície com planos horizontais $ z = c $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = 1 - x - y $ é todo $ \mathbb{R}^2 $. As curvas de nível são retas da forma $ x + y = 1 - c $ para qualquer constante $ c $. Geometricamente, o domínio cobre todo o plano, as curvas de nível são linhas paralelas com inclinação -1, e o gráfico de $ f $ é uma superfície plana inclinada no espaço tridimensional.