Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral 1raizx^2+1 d x=

Passo 1

Enunciado: calcular integral 1raizx^2+1,dx. O conteúdo é integração indefinida por substituição, e vamos usar substituição hiperbólica para lidar com a raiz.

Passo 2

Começamos lembrando da identidade cosh^2 t - sinh^2 t = 1. Se fizermos x = sinh t, então x^2 +1 = sinh^2 t +1 = cosh^2 t, logo raizx^2+1 = cosh t. Além disso, como a derivada de sinh t é cosh t, temos dx = cosh t,dt.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos integral 1raizx^2+1,dx = integral 1cosh t cdot cosh t,dt = integral dt.

Passo 4

Integrando em t, fica integral dt = t + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x: como definimos t = arsinh(x), a solução geral é t + C = arsinh(x) + C, que também pode ser expressa como lnl(x + raizx^2+1r) + C.

Resposta

lnl(x + raizx^2+1r) + C

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