Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
.
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo aqui é limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar a continuidade de
e
em zero, além de, se quisermos, um desenvolvimento em série para confirmar o resultado.
Passo 2
Primeiro, note que não temos forma indeterminada, pois ao substituir
diretamente nas funções contínuas temos:
e
$$
1+\sin0=1+0=1
$$
Passo 3
Logo, pelo teorema da continuidade,
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)}{1+\sin x}=\frac{1}{1}=1
$$
Passo 4
Para reforçar, podemos usar a expansão em série em torno de zero:
Substituindo na fração:
que claramente tende a 1 quando
.
Resposta
1