Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x 0.
f(x)=cos (2 x)1+sen x

Passo 1

A questão pede para calcular limxto0dfraccos(2x)1+sin x. O conteúdo aqui é limites de funções trigonométricas e vamos precisar usar a continuidade de cos e sin em zero, além de, se quisermos, um desenvolvimento em série para confirmar o resultado.

Passo 2

Primeiro, note que não temos forma indeterminada, pois ao substituir x=0 diretamente nas funções contínuas temos:
cos(2cdot0)=cos0=1
e
$$
1+\sin0=1+0=1
$$

Passo 3

Logo, pelo teorema da continuidade,
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)}{1+\sin x}=\frac{1}{1}=1
$$

Passo 4

Para reforçar, podemos usar a expansão em série em torno de zero:
cos(2x)=1-(2x)^22+O(x^4)=1-2x^2+O(x^4),
sin x=x+O(x^3)
Substituindo na fração:
cos(2x)1+sin x=1-2x^2+O(x^4)1+x+O(x^3)=(1-2x^2)(1-x+O(x^2))=1-x-2x^2+O(x^2)
que claramente tende a 1 quando xto0.

Resposta

1

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