Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^2 5 x^3+7 x^2-5 x+2x^2 d x

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma integral definida de uma função racional. O conteúdo aqui é simplificar a expressão dividindo o polinômio por x^2 e depois usar as regras básicas de integração de potências e de ln.

Passo 2

Primeiro dividimos cada termo de 5x^3 + 7x^2 -5x +2 por x^2 para transformar em soma de potências:
5x^3x^2 + 7x^2x^2 - 5xx^2 + 2x^2 = 5x + 7 - 5,x^-1 + 2,x^-2

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo, lembrando as fórmulas:
  • integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C (para nneq -1),
  • integral x^-1,dx = ln|x| + C
    Então:
integral (5x + 7 - 5x^-1 + 2x^-2),dx = 5x^22 + 7x - 5ln|x| - 2x^-1 + C

Passo 4

Definimos a antiderivada
F(x) = 52x^2 + 7x - 5ln|x| - 2x
Como é integral definida de 1 a 2, avaliamos F(2) - F(1).

Passo 5

Calculando em x=2:
F(2) = 52cdot 4 + 7cdot 2 - 5ln(2) - 22 = 10 + 14 - 5ln2 - 1 = 23 - 5ln2
Em x=1:
F(1) = 52cdot 1 + 7cdot 1 - 5ln(1) - 2 = 2.5 + 7 - 0 - 2 = 7.5
A diferença fica
F(2)-F(1) = (23 - 5ln2) - 7.5 = 15.5 - 5ln2 = 312 - 5ln2

Resposta

312 - 5ln2

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