Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x mapsto 0.
f(x)=(sen x)(sen 2 x)x sen 3 x

Passo 1

Estamos tentando calcular
limxto 0sin x;sin 2xx;sin 3x
Esse é um problema de limites envolvendo a forma indeterminada tfrac0cdot00cdot0. O truque é usar o limite fundamental
limuto0sin uu=1,
reescrevendo cada sin(kx) de modo a aparecer uma fração sin(kx)kx.

Passo 2

Observe que
sin2x = 2x;sin2x2x, sin3x = 3x;sin3x3x
Substituindo na expressão original, vem
sin x;sin2xx;sin3x = sin x;l(2x,sin2x2xr)% x;l(3x,sin3x3xr) = 2x,sin x3x^2;sin2x2xsin3x3x

Passo 3

Agora simplificamos o fator à frente:
2x,sin x3x^2 = 23,sin xx
Logo a função fica
sin x;sin2xx;sin3x = 23, sin xx ;cdot; sin2x2xsin3x3x

Passo 4

Quando xto0, cada razão do tipo sin(kx)kx tende a 1. Então
limxto0sin xx=1, limxto0sin2x2x=1, limxto0sin3x3x=1
Portanto
limxto0sin x,sin2xx,sin3x = 23times1times11 = 23

Resposta

23

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