4.8O Uma concha esférica homogênea de raio
é cortada pela folha de um cone circular reto cujo vértice está no centro da esfera. Se o ângulo do vértice do cone é
, qual o centro de massa da porção da concha que jaz no interior do cone? [resp. sobre o eixo do cone, distante
do centro da esfera]
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma concha esférica homogênea de raio
, recortada por um cone circular reto cujo vértice coincide com o centro da esfera e cujo ângulo de vértice é
. Como a densidade superficial é constante, vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da casca e aplicar a definição de centro de massa de uma superfície.
Passo 2
Parametrizamos a casca esférica por
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo do cone. O elemento de área é
e se
for a densidade superficial, o elemento de massa é
.
Passo 3
Calculamos primeiro a massa total da porção interna ao cone:
Passo 4
O eixo de simetria é o eixo do cone, então só precisamos da coordenada
do centro de massa:
O numerador fica
Logo
Passo 5
Usando as identidades
e
, com
, obtém-se
Reescrevendo em função de
e
, demonstra-se que isso equivale a
conforme pedido.
Resposta
O centro de massa está sobre o eixo do cone, à distância
do centro da esfera.