4.8O Uma concha esférica homogênea de raio a é cortada pela folha de um cone circular reto cujo vértice está no centro da esfera. Se o ângulo do vértice do cone é alpha, 0<alpha<pi, qual o centro de massa da porção da concha que jaz no interior do cone? [resp. sobre o eixo do cone, distante a(1-cos alpha)4[1-cos (alpha / 2)] do centro da esfera]

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma concha esférica homogênea de raio a, recortada por um cone circular reto cujo vértice coincide com o centro da esfera e cujo ângulo de vértice é alpha. Como a densidade superficial é constante, vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da casca e aplicar a definição de centro de massa de uma superfície.

Passo 2

Parametrizamos a casca esférica por
r=a, varphiinl[0,tfracalpha2r], thetain[0,2pi],
onde varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo do cone. O elemento de área é
dS = a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta
e se sigma for a densidade superficial, o elemento de massa é dm=sigma,dS.

Passo 3

Calculamos primeiro a massa total da porção interna ao cone:
M=integral0^2pi!integral0^alpha/2sigma,a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta =2pisigma,a^2integral0^alpha/2sinvarphi,dvarphi =2pisigma,a^2l[1-cos(tfracalpha2)r]

Passo 4

O eixo de simetria é o eixo do cone, então só precisamos da coordenada z do centro de massa:
zrm CM =1Mintegral z,dm =1Mintegral0^2pi!integral0^alpha/2 l(acosvarphir),sigma,a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta
O numerador fica
2pisigma,a^3integral0^alpha/2cosvarphisinvarphi,dvarphi =2pisigma,a^3cdot12sin^2l(tfracalpha2r) =pisigma,a^3sin^2l(tfracalpha2r)
Logo
zrm CM =pisigma,a^3sin^2(tfracalpha2) 2pisigma,a^2l[1-cos(tfracalpha2)r] =a2,sin^2(tfracalpha2),1-cos(tfracalpha2),

Passo 5

Usando as identidades
sin^2 x=2sin^2(x/2)cos^2(x/2) e 1-cos x=2sin^2(x/2), com x=tfracalpha2, obtém-se
sin^2(tfracalpha2)1-cos(tfracalpha2) =2cos^2l(tfracalpha4r) Longrightarrow zrm CM =acos^2l(tfracalpha4r)
Reescrevendo em função de cosalpha e cos(tfracalpha2), demonstra-se que isso equivale a
zrm CM =al[1-cos(alpha)r]4l[1-cos(tfracalpha2)r],
conforme pedido.

Resposta

O centro de massa está sobre o eixo do cone, à distância
zrm CM =al[1-cos(alpha)r]4l[1-cos(tfracalpha2)r]
do centro da esfera.

Exercícios relacionados