Escreva os quatro primeiros elementos das sequências abaixo e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
3+5 n^2n+n^2
R: Converge para 5

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
an=3+5n^2n+n^2
e pede os quatro primeiros termos e se ela converge ou diverge. O conteúdo é limite de sequência quando ntoinfty. Para resolver, vamos (i) calcular a1,a2,a3,a4 e (ii) determinar limntoinftyan.

Passo 2

Calculamos cada termo substituindo n:
a1=3+5cdot1^21+1^2 =82=4,
a2=3+5cdot2^22+2^2 =3+202+4 =236,
a3=3+5cdot3^23+3^2 =3+453+9 =4812=4,
a4=3+5cdot4^24+4^2 =3+804+16 =8320

Passo 3

Para ver o comportamento quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador de an por n^2:
an =3+5n^2n+n^2 =3n^2+5nn^2+1 =3n^2+51n+1
Ao fazer ntoinfty temos tfrac3n^2to0 e tfrac1nto0, então
limntoinftyan =0+50+1=5

Passo 4

Como o limite existe e vale 5, a sequência é convergente com limntoinftyan=5.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
4, 236, 4, 8320,
e a sequência é convergente com limite 5.

Exercícios relacionados