Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule
e determine os intervalos em que
é crescente e aqueles em que
é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
, bem como os valores de
nesses pontos;
(d) Calcule
e determine os intervalos em que a curva
é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
;
(f) Calcule as raízes de
(soluções da equação
), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva
tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
é contínua, mas
não é definida).
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva
(b) Calcule
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de
(d) Calcule
(e) Determine os pontos de inflexão da curva
(f) Calcule as raízes de
(g) Verifique se a curva
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
nos seguintes aspectos de Cálculo I:
(a) domínio e assíntotas verticais;
(b) derivada primeira e monotonicidade;
(c) extremos locais;
(d) derivada segunda e concavidade;
(e) pontos de inflexão;
(f) raízes;
(g) assíntotas horizontais ou oblíquas;
(h) esboço do gráfico;
(i) pontos de reta tangente vertical ou não definida.
(a) domínio e assíntotas verticais;
(b) derivada primeira e monotonicidade;
(c) extremos locais;
(d) derivada segunda e concavidade;
(e) pontos de inflexão;
(f) raízes;
(g) assíntotas horizontais ou oblíquas;
(h) esboço do gráfico;
(i) pontos de reta tangente vertical ou não definida.
Passo 2
(a) Domínio: como
está dentro de raiz cúbica, não há restrição real. Logo
Não há pontos de descontinuidade, então não há retas assíntotas verticais.
Passo 3
(b) Calculamos
Pela regra do produto e cadeia obtemos
O sinal de
muda nos zeros do numerador
e onde o denominador anula
. Testando intervalos, concluímos:
-
em ; -
em ; -
em .
Passo 4
(c) Pelo critério da primeira derivada:
- Em
, passa de negativa para positiva ⇒ mínimo local em . - Em
, passa de positiva para negativa ⇒ máximo local em
Passo 5
(d) Para a segunda derivada usamos diferenciação logarítmica em
e achamos que o sinal de
é dado por
Testando cada intervalo de
, obtemos:
-
em (concavidade para baixo); -
em (concavidade para cima).
Passo 6
(e) Há mudança de concavidade apenas em
, onde
é contínua mas
não existe. Logo ponto de inflexão em
Passo 7
(f) Raízes de
vêm de
Passo 8
(g) Para
,
Há reta oblíqua assintótica
sem assíntotas horizontais.
Passo 9
(h) Esboço do gráfico a partir dos dados:
- Interceptos em
e . - Mínimo em
; máximo em . - Ponto de inflexão em
. - Decrescente em
, crescente em , decrescente em . - Concavidade para baixo até
, para cima após . - Reta oblíqua
.
Passo 10
(i) Em
e em
, embora
seja contínua,
diverge (
), indicando reta tangente vertical nesses pontos.
Resposta
(a)
, sem assíntotas verticais.
(b) . Decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
(c) Mínimo local em ; máximo local em
.
(d) em
,
em
.
(e) Ponto de inflexão em .
(f) Raízes em (dupla) e
.
(g) Reta oblíqua .
(h) Esboço conforme descrito no Passo 9.
(i) Retas tangentes verticais em e
.
(b)
(c) Mínimo local em
(d)
(e) Ponto de inflexão em
(f) Raízes em
(g) Reta oblíqua
(h) Esboço conforme descrito no Passo 9.
(i) Retas tangentes verticais em