Para cada uma das funções dadas abaixo,
(a) Determine o domínio da função e, com base nisto, verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas verticais.
(b) Calcule f^prime(x) e determine os intervalos em que f é crescente e aqueles em que f é decrescente;
(c) Determine os pontos de máximo locais e os pontos de mínimo locais de f, bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(d) Calcule f^prime prime(x) e determine os intervalos em que a curva y=f(x) é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo;
(e) Determine os pontos de inflexão da curva y=f(x);
(f) Calcule as raízes de f (soluções da equação f(x)=0 ), quando isto não for difícil;
(g) Verifique se a curva y=f(x) tem retas assíntotas horizontais ou inclinadas.
(h) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f.
(i) Indique os pontos do gráfico onde a reta tangente é vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f é contínua, mas f^prime não é definida).
f(x)=raiz[3]6 x^2-x^3

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=raiz[3]6x^2 - x^3=(6x^2 - x^3)^1/3
nos seguintes aspectos de Cálculo I:
(a) domínio e assíntotas verticais;
(b) derivada primeira e monotonicidade;
(c) extremos locais;
(d) derivada segunda e concavidade;
(e) pontos de inflexão;
(f) raízes;
(g) assíntotas horizontais ou oblíquas;
(h) esboço do gráfico;
(i) pontos de reta tangente vertical ou não definida.

Passo 2

(a) Domínio: como 6x^2 - x^3 está dentro de raiz cúbica, não há restrição real. Logo
Dom(f)=R
Não há pontos de descontinuidade, então não há retas assíntotas verticais.

Passo 3

(b) Calculamos
f(x)=l(x^2(6-x)r)^1/3=x^2/3(6-x)^1/3
Pela regra do produto e cadeia obtemos
f'(x) =tfrac13x^-1/3(6-x)^-2/3(12-3x) =x(4-x)(6x^2-x^3)^2/3
O sinal de f'(x) muda nos zeros do numerador (x=0,,x=4) e onde o denominador anula (x=0,6). Testando intervalos, concluímos:
  • f'<0 em (-infty,0);
  • f'>0 em (0,4);
  • f'<0 em (4,infty).

Passo 4

(c) Pelo critério da primeira derivada:
  • Em x=0, f' passa de negativa para positiva ⇒ mínimo local em (0,f(0))=(0,0).
  • Em x=4, f' passa de positiva para negativa ⇒ máximo local em
l(4,;f(4)r) =l(4,;raiz[3]6cdot16-64r) =l(4,;raiz[3]32r)

Passo 5

(d) Para a segunda derivada usamos diferenciação logarítmica em
f'(x)=x^-1/3(4-x)(6-x)^-2/3
e achamos que o sinal de f'' é dado por
f''f' = -14-x-13x+23(6-x)
Testando cada intervalo de Dom(f)setminus0,6, obtemos:
  • f''<0 em (-infty,6) (concavidade para baixo);
  • f''>0 em (6,infty) (concavidade para cima).

Passo 6

(e) Há mudança de concavidade apenas em x=6, onde f é contínua mas f'' não existe. Logo ponto de inflexão em
(6,f(6))=(6,0)

Passo 7

(f) Raízes de f(x)=0 vêm de
6x^2 - x^3 = x^2(6-x)=0 Longrightarrow x=0 (mu<iplicidade 2),;x=6

Passo 8

(g) Para |x|toinfty,
f(x)=raiz[3]-x^3+6x^2 =-x,(1-6/x)^1/3sim -x+2
Há reta oblíqua assintótica
y=-x+2,
sem assíntotas horizontais.

Passo 9

(h) Esboço do gráfico a partir dos dados:
  • Interceptos em (0,0) e (6,0).
  • Mínimo em (0,0); máximo em l(4,raiz[3]32r).
  • Ponto de inflexão em (6,0).
  • Decrescente em (-infty,0), crescente em (0,4), decrescente em (4,infty).
  • Concavidade para baixo até x=6, para cima após x=6.
  • Reta oblíqua y=-x+2.

Passo 10

(i) Em x=0 e em x=6, embora f seja contínua, f'(x) diverge ( pminfty), indicando reta tangente vertical nesses pontos.

Resposta

(a) Dom(f)=R, sem assíntotas verticais.
(b) f'(x)=dfracx(4-x)(6x^2-x^3)^2/3. Decrescente em (-infty,0), crescente em (0,4), decrescente em (4,infty).
(c) Mínimo local em (0,0); máximo local em l(4,raiz[3]32r).
(d) f''<0 em (-infty,6), f''>0 em (6,infty).
(e) Ponto de inflexão em (6,0).
(f) Raízes em x=0 (dupla) e x=6.
(g) Reta oblíqua y=-x+2.
(h) Esboço conforme descrito no Passo 9.
(i) Retas tangentes verticais em x=0 e x=6.

Exercícios relacionados