é dito ponto singular regular se as funções e são analíticas em . Em qualquer outro caso o ponto singular é dito ponto singular irregular.
Encontre e classifique os pontos singulares das seguintes equações diferenciais: .
Passo 1
O enunciado dá a equação
que queremos pôr na forma padrão
Para isso precisamos dividir tudo por .
Passo 2
Dividindo por obtemos
Logo
p(x)=3x(x-2), q(x)=1(x-2)^2
As únicas possíveis singularidades finitas vêm de zeros de (x-2)^2, ou seja x=2. Para xneq2, p e q são analíticas e o ponto é ordinário.
Passo 3
Vamos verificar se x0=2 é singular regular ou irregular. Definimos
(x-2),p(x)= (x-2),3x(x-2)=3x(x-2)^2,
(x-2)^2,q(x)=(x-2)^2cdot1(x-2)^2=1
Ambas as funções 3x(x-2)^2 e 1 são analíticas em x=2. Portanto x=2 é um ponto singular regular.
Passo 4
Em muitos casos também se analisa x=infty. Fazendo t=1/x e reescrevendo p e q em função de t, verifica-se que t,p(1/t) ou t^2,q(1/t) não são analíticas em t=0. Isso mostra que x=infty é ponto singular irregular.
Resposta
O único ponto singular finito é x=2, e ele é ponto singular regular.
Em x=infty surge um ponto singular irregular.