Um ponto Singular da equação diferencial
y^prime prime(x)+p(x) y^prime(x)+q(x) y(x)=0é dito ponto singular regular se as funções (x-x0) p(x) e (x-x0)^2 q(x) são analíticas em x0. Em qualquer outro caso o ponto singular é dito ponto singular irregular.
Encontre e classifique os pontos singulares das seguintes equações diferenciais:
(x-2)^2 y^prime prime+3 x(x-2)^3 y^prime+y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
(x-2)^2y''+3x(x-2)^3y'+y=0
que queremos pôr na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0
Para isso precisamos dividir tudo por (x-2)^2.

Passo 2

Dividindo por (x-2)^2 obtemos
y''+underbrace3x(x-2)^3(x-2)^2p(x),y' +underbrace1(x-2)^2q(x),y=0
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p(x)=3x(x-2), q(x)=1(x-2)^2
As únicas possíveis singularidades finitas vêm de zeros de (x-2)^2, ou seja x=2. Para xneq2, p e q são analíticas e o ponto é ordinário.

Passo 3

Vamos verificar se x0=2 é singular regular ou irregular. Definimos
(x-2),p(x)= (x-2),3x(x-2)=3x(x-2)^2,
(x-2)^2,q(x)=(x-2)^2cdot1(x-2)^2=1
Ambas as funções 3x(x-2)^2 e 1 são analíticas em x=2. Portanto x=2 é um ponto singular regular.

Passo 4

Em muitos casos também se analisa x=infty. Fazendo t=1/x e reescrevendo p e q em função de t, verifica-se que t,p(1/t) ou t^2,q(1/t) não são analíticas em t=0. Isso mostra que x=infty é ponto singular irregular.

Resposta

O único ponto singular finito é x=2, e ele é ponto singular regular.
Em x=infty surge um ponto singular irregular.

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