Exercício 1. Calcule as integrais
integral triplaR y sin (x y) z^2 d V onde R=(x, y, z) in R^3 mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= pi / 2,-2 <= z <= 3

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral triplaR ysin(xy),z^2,dV
sobre o paralelepípedo
R=(x,y,z)inR^3 mid 1<= x<=3,;0<= y<=tfracpi2,;-2<= z<=3
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para separar integrais em variáveis independentes.

Passo 2

Pela independência de variáveis, escrevemos
integral triplaR ysin(xy),z^2,dV = integralz=-2^3 z^2,dz ;times; integraly=0^pi/2!!integralx=1^3 ysin(xy),dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro
integral-2^3 z^2,dz = [z^33]-2^3 = 273--83 = 9+83 = 353

Passo 4

Agora a integral em x, com y fixo. Use u=xy, du=y,dx:
integral1^3 ysin(xy),dx = integralu=y^3ysin(u),du = l[-cos(u)r]y^3y = cos(y)-cos(3y)

Passo 5

Integramos em y:
integral0^pi/2l(cos(y)-cos(3y)r),dy = l[sin(y)-tfrac13sin(3y)r]0^pi/2 = l(1-tfrac13(-1)r)-0 = 1+tfrac13 = 43

Passo 6

Multiplicamos os resultados:
353times43 = 1409

Resposta

1409

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